Graph von Gruppen

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In der Mathematik sind Graphen von Gruppen eine Konstruktion der Gruppentheorie, mit der iterierte amalgamierte Produkte und HNN-Erweiterungen konstruiert werden können und die in der Bass-Serre-Theorie von Bedeutung ist.

Ein Graph von Gruppen wird durch die folgenden Daten gegeben:

  • ein gerichteter zusammenhängender Graph , so dass für jede Kante auch die umgedrehte Kante zu gehört
  • eine „Eckengruppe“ für jede Ecke
  • eine „Kantengruppe“ für jede Kante , so dass für alle
  • injektive Homomorphismen für jede Kante

Fundamentalgruppe

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Für die Definition der Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen muss zunächst ein Spannbaum im Graphen gewählt werden. Die Fundamentalgruppe ist letztlich aber vom gewählten Spannbaum unabhängig.

Die Fundamentalgruppe des Graphen von Gruppen ist definiert als das freie Produkt

(wobei die freie Gruppe mit Basis bezeichnet) modulo der folgenden Relationen:

  • für alle
  • für alle
  • für alle im Spannbaum vorkommenden Kanten
  • Es sei der aus einer Kante mit zwei Eckpunkten bestehende Graph. Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen das amalgamierte Produkt
.
  • Es sei der aus einer Kante mit zwei übereinstimmenden Eckpunkten bestehende Graph (eine „Schleife“). Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen die HNN-Erweiterung
für den durch
gegebenen Homomorphismus zwischen den Untergruppen und von .
  • Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL2. Rédigé avec la collaboration de Hyman Bass. Astérisque, No. 46. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
  • englische Übersetzung: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5