HWI-Ungleichung

Die HWI-Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes, welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich eines Referenzmaßes durch die Wasserstein-Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher-Information nach oben beschränkt. Sie impliziert eine Transport-Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew-Ungleichung für gaußsche Maße.

Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cédric Villani bewiesen.

HWI-Ungleichung

Vorbereitung

Sei

• $(E,d)$ ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra ${\mathcal {B}}(E)$,
• ${\mathcal {P}}(E)$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(E,{\mathcal {B}}(E))$.
• ${\mathcal {P}}_{n}(E)$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(E,{\mathcal {B}}(E))$ mit endlichem $n$-ten Moment.
• ${\mathcal {B}}(E\times E),{\mathcal {P}}(E\times E)$ definieren wir analog für den Produktraum $E\times E$,
• $dx$ das Lebesgue-Maß,
• $C^{p}(A,B)$ der Raum der $p$-mal stetig differenzierbaren Funktionen der Form $f:A\to B$,
• $I_{n}$ die $n$-dimensionale Identitätsmatrix.

Seien $\mu ,\nu \in {\mathcal {P}}(E)$, dann nennen wir ein $\pi \in {\mathcal {P}}(E\times E)$ eine Kopplung von $(\mu ,\nu )$, falls $\mu$ und $\nu$ seine Marginalen sind, das heißt $\pi (dx\times E)=\mu (dx)$ und $\pi (E\times dx)=\nu (dx)$. Mit $\textstyle \prod (\mu ,\nu )$ notieren wir den Raum aller Kopplungen von $(\mu ,\nu )$.

Wir nehmen nun an, dass $\mu$ absolut stetig bezüglich $\nu$ ist. Dann definieren wir weiter

• $H(\mu \mid \nu )$ die relative Entropie

$H(\mu \mid \nu )=\int _{E}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)d\mu =\int _{E}{\frac {d\mu }{d\nu }}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)d\nu$,

• $W_{p}(\mu \mid \nu )$ die Wasserstein-Distanz

$W_{p}(\mu \mid \nu )=\inf \limits _{\pi \in \Pi (\mu ,\nu )}\left(\int _{E\times E}d(x,y)^{p}d\pi (x,y)\right)^{1/p}$,

• $I(\mu \mid \nu )$ die relative Fisher-Information

$I(\mu \mid \nu )=\int _{E}\left|\nabla \log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\right|^{2}d\mu =4\int _{E}\left|\nabla {\sqrt {\frac {d\mu }{d\nu }}}\right|^{2}d\mu$.

HWI-Ungleichung auf ℝⁿ

Sei nun $E=\mathbb {R} ^{n}$ und $V\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$. Nehme an, dass $\nu \in {\mathcal {P}}_{2}(E)$ von der Form

$\nu (dx)=e^{-V}dx$

und $\mu$ absolut stetig bezüglich $\nu$ ist. Weiter soll für die Hesse-Matrix

$\operatorname {Hess} (V)\geq kI_{n}$

für ein $k\in \mathbb {R}$ gelten.

Dann gilt die HWI-Ungleichung

$H(\mu \mid \nu )\leq W_{2}(\mu \mid \nu ){\sqrt {I(\mu \mid \nu )}}-{\frac {k}{2}}W_{2}(\mu \mid \nu )^{2}.$

Falls $V$ konvex ist, dann gilt

$H(\mu \mid \nu )\leq W_{2}(\mu \mid \nu ){\sqrt {I(\mu \mid \nu )}}.$

Eigenschaften

Falls $k>0$, dann impliziert die HWI-Ungleichung die logarithmische Sobolew-Ungleichung mit Konstante $k$ sowie die Talagrand-Ungleichung mit Konstante $k$ auf $\mathbb {R} ^{n}$, notiert mit $LSE(k)$ respektive $T(k)$ für Maße der Form

$\nu (dx)=e^{-V}dx$

HWI-Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Es existiert auch eine Variante für glatte, zusammenhängende, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• Cédric Villani: Topics in Optimal Transportation. Hrsg.: American Mathematical Society. Vereinigte Staaten 2021, ISBN 978-1-4704-6726-5, S. 301.