Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit

Die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit (auch HW-Mannigfaltigkeit oder Didicosm) ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine kompakte, orientierbare und flache 3-Mannigfaltigkeit. Eine besondere Rolle spielt die Mannigfaltigkeit in der kosmischen Topologie als mögliche Form des Universums, da dadurch die Eigenschaften der kosmischen Hintergrundstrahlung besser erklärt werden können als mit einem 3-Torus. Benannt und erstmals untersucht wurde die Mannigfaltigkeit von den deutschen Mathematikern Walter Hantzsche und Hilmar Wendt im Jahr 1934.

Definition

Konstruktion der Hantzsche–Wendt-Mannigfaltigkeit durch (direkte oder verdrehte) Identifikation der Flächen eines Quaders

Die Kleinsche Vierergruppe $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ wirkt auf dem 3-Torus $T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ durch die antipodale Abbildung auf zwei Komponenten. Der Orbitraum:

$D:=T^{3}/(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})$

ist die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit.

Eigenschaften

• Die Holonomiegruppe der Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit ist $\mathbb {Z} _{2}^{2}$.
• Die erste Homologiegruppe der Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit ist $\mathbb {Z} _{4}^{2}$.

Verallgemeinerungen

Der erste und zweite Amphidicosm sind kompakte, nicht orientierbare und flache 3-Mannigfaltigkeiten mit Holonomiegruppe $\mathbb {Z} _{2}^{2}$ und Betti-Zahl $1$.

Eine verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit ist eine kompakte und flache $n$-Mannigfaltigkeit mit Holonomiegruppe $\mathbb {Z} _{2}^{n-1}$.

Trivia

Der Didicosm spielt eine zentrale Rolle in der gleichnamigen Science-Fiction-Kurzgeschichte Didicosm von Greg Egan.

Weblinks

• Hantzsche-Wendt manifold auf nLab (englisch)

V

Differentialtopologie