Ungleichung von Hilbert

Die Ungleichung von Hilbert (englisch Hilbert’s inequality) ist eine klassische Ungleichung der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie geht auf eine Arbeit des deutschen Mathematikers David Hilbert aus dem Jahre 1888 zurück und gibt eine obere Abschätzung zu gewissen Doppelsummen positiver reeller Zahlen. Hilberts Ungleichung wurde von zahlreichen Autoren verschärft, verallgemeinert und abgewandelt. Nicht zuletzt haben Hermann Weyl – etwa in seiner Inauguraldissertation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems von 1908 – und insbesondere Godfrey Harold Hardy sie intensiver Untersuchung unterzogen.

Formulierung der Ungleichung

Hilberts Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei für eine natürliche Zahl $N>0$ ein $(N+1)$-Tupel $(a_{0},\ldots ,a_{N})$ positiver reeller Zahlen.

Dann gilt:

(H) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}$  .

Verschärfungen

Nach H. Frazer hat die letzte Ungleichung eine Verschärfung, in der die Kreiszahl durch einen besseren Abschätzungsfaktor ersetzt wird:

(HF) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq (N+1)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{N+1}}\right)\cdot \sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}$  .

D. V. Widder zeigte die folgende stärkere Ungleichung:

(HW) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{{\frac {(i+j)!}{i!j!}}{\frac {a_{i}a_{j}}{2^{i+j+1}}}}}$  .

Verwandte Ungleichung

Fu Cheng Hsiang bewies die folgende verwandte Ungleichung:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $N>0$ und dazu zwei $(N+1)$-Tupel $(a_{0},\ldots ,a_{N})$ und $(b_{0},\ldots ,b_{N})$ von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann gilt:

(HHs) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}b_{j}}{2i+2j+1}}}\leq (N+1)\cdot \sin {\frac {\pi }{2(N+1)}}\cdot \left(\sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{j=0}^{N}{{b_{j}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}$  .

Analoga und Erweiterungen

In Analogie und Erweiterung der obigen Ungleichungen gewinnt man entsprechende für Doppelreihen und -integrale:

Für zwei Folgen $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ und $\left(b_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }$ von nichtnegativen reellen Zahlen, die nicht beide lediglich $0$ als Folgenglied haben, und zwei positive reelle Zahlen $p,q$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ gilt stets:

(HH_1) $\sum _{i=1}^{\infty }{\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{i}b_{j}}{i+j}}}<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{\infty }{{a_{i}}^{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\sum _{j=1}^{\infty }{{b_{j}}^{q}}\right)^{\frac {1}{q}}$  .

Für zwei reelle Funktionen $f,g\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$, die nicht beide die Nullfunktion sind, und zwei positive reelle Zahlen $p,q$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ gilt stets:

(HH_2) $\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)g(y)}{x+y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{f^{p}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{g^{q}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}$  .

Zusatz: Es ist sowohl bei (HH_1) als auch bei (HH_2) der Abschätzungsfaktor ${\tfrac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}$ der bestmögliche.

Anmerkungen

• Für $p=q=2$ spricht man in Bezug auf (HH_1) auch vom hilbertschen Doppelreihensatz (englisch Hilbert’s double series theorem).
• Hinsichtlich des allgemeinen Falls ist es heute üblich, die obigen Ungleichungen (HH_1) bzw. (HH_2) als hardy-hilbertsche Ungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s inequality) bzw. als hardy-hilbertsche Integralungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s integral inequality) zu bezeichnen.

Zwei weitere verwandte Ungleichungen

Im Rahmen der Bemühungen, einen möglichst einfachen Beweis des hilbertschen Doppelreihensatzes zu liefern, wurden – beginnend in den Jahren 1920 bis 1925 mit Arbeiten von G. H. Hardy und Edmund Landau – zwei verwandte Ungleichungen für Reihen und Integrale gefunden und abgeleitet, welche beide unter dem Stichwort hardysche Ungleichung (englisch Hardy’s inequality) bekannt wurden. Es handelt sich um die folgenden:

Für eine Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer reeller Zahlen, die nicht alle gleich $0$ sind, und eine reelle Zahl $p>1$ gilt stets:

(H_1) $\sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+\ldots +a_{i}}{i}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }{{a_{i}}^{p}}$  .

Für eine reelle Funktion $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$, die nicht die Nullfunktion ist, und eine reelle Zahl $p>1$ gilt stets:

(H_2) $\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}{x}}\right)^{p}\,\mathrm {d} x<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\cdot \int _{0}^{\infty }f^{p}(x)\,\mathrm {d} x$  .

Zusatz: Sowohl bei (H_1) als auch bei (H_2) ist der Abschätzungsfaktor $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$ der bestmögliche.

Literatur

• H. Frazer: Note on Hilbert’s inequality. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 21, 1946, S. 7–9 (MR0018226). 
• G. H. Hardy: Note on a theorem of Hilbert. In: Mathematische Zeitschrift. Band 6, 1920 (MR1544414). 
• G. H. Hardy: Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms. In: Proceedings of the London Mathematical Society (2). Band 23, 1925. 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973. 
• David Hilbert: Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. In: Mathematische Annalen. Band 32, 1888, S. 342–350 (MR1510517). 
• Fu Cheng Hsiang: An inequality for finite sequences. In: Mathematica Scandinavica. Band 5, 1957, S. 12–14 (digizeitschriften.de). 
• E. Landau: A note on a theorem concerning series of positive terms. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 1, 1926, S. 38–39. 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Waadallah Tawfeeq Sulaiman: Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations. In: Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica. Band 11, 2007, S. 23–32 (MR2391968). 
• D. V. Widder: An Inequality Related to One of Hilbert’s. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 4, 1929, S. 194–198 (MR1575045). 
• Bicheng Yang, Qiang Chen: A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane. In: Journal of Function Spaces. 2016 (8 S., MR3548430 – Art. ID 9197476).