Als cauchyschen Hauptwert (nach Augustin-Louis Cauchy ) bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Analysis den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.
Es gibt zwei unterschiedliche Fälle, in denen man von einem cauchyschen Hauptwert spricht:
Seien
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty }
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in {]a,b[}}
f
:
[
a
,
c
[
∪
]
c
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon {[a,c[}\cup {]c,b]}\to \mathbb {R} }
[
a
,
c
−
ϵ
]
{\displaystyle [a,c-\epsilon ]}
[
c
+
ϵ
,
b
]
{\displaystyle [c+\epsilon ,b]}
a
<
c
−
ϵ
<
c
<
c
+
ϵ
<
b
{\displaystyle a<c-\epsilon <c<c+\epsilon <b}
Riemann-integrierbar . Existiert dann der Grenzwert
lim
ϵ
→
0
+
(
∫
a
c
−
ϵ
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
+
ϵ
b
f
(
x
)
d
x
)
,
{\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c+\epsilon }^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right),}
so nennt man ihn den cauchyschen Hauptwert von
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
CH
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
[ 1] Sei
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
[
−
R
,
R
]
{\displaystyle [-R,R]}
lim
R
→
∞
∫
−
R
R
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,\mathrm {d} x,}
so heißt er cauchyscher Hauptwert von
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
CH
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \operatorname {CH} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
[ 2] Es ist auch gebräuchlich, „v.p.“ (aus dem Franz. valeur principale principal value [ 3]
Existiert ein Integral über
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
uneigentlichen Sinn , so existiert auch immer der cauchysche Hauptwert (nach der zweiten Definition) und diese beiden Werte stimmen überein.
Aus der Existenz des cauchyschen Hauptwertes folgt hingegen noch nicht die Existenz des uneigentlichen Integrals.[ 4]
Cauchyscher Hauptwert – Beispiel Es wird das Integral
∫
−
1
1
1
x
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}
Integrand
1
x
{\textstyle {\frac {1}{x}}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
0
{\displaystyle 0}
[
−
1
,
0
[
{\displaystyle [-1,0[}
]
0
,
1
]
{\displaystyle ]0,1]}
∫
−
1
0
1
x
d
x
und
∫
0
1
1
x
d
x
,
{\displaystyle \int _{-1}^{0}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{ und}}\quad \int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x,}
die beide divergieren. Dieses Integral existiert also nicht als uneigentliches Riemann-Integral, der cauchysche Hauptwert beträgt jedoch
0
{\displaystyle 0}
CH
∫
−
1
1
1
x
d
x
=
lim
ϵ
→
0
+
(
∫
−
1
−
ϵ
1
x
d
x
+
∫
ϵ
1
1
x
d
x
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
[
ln
(
−
x
)
]
−
1
−
ϵ
+
[
ln
(
x
)
]
ϵ
1
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
ln
(
ϵ
)
−
ln
(
ϵ
)
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {CH} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\epsilon }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left({\Big [}\ln(-x){\Big ]}_{-1}^{-\epsilon }+{\Big [}\ln(x){\Big ]}_{\epsilon }^{1}\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon )-\ln(\epsilon ))=0}
Dabei wurde im zweiten Schritt benutzt, dass
ln
(
−
x
)
{\displaystyle \ln(-x)}
1
x
{\textstyle {\frac {1}{x}}}
[
−
1
,
−
ϵ
]
{\displaystyle [-1,-\epsilon ]}
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
1
x
{\textstyle {\frac {1}{x}}}
[
ϵ
,
1
]
{\displaystyle [\epsilon ,1]}
Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen ).
Der Cauchy-Hauptwert ermöglicht es also, einem Integral, das weder im riemannschen Sinn noch im lebesgueschen Sinn existiert, einen Wert zuzuordnen.
Wenn
f
{\displaystyle f}
stetig und nur auf einem beschränkten Intervall von null verschieden ist, existiert also insbesondere der Ausdruck
CH
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
1
x
d
x
{\displaystyle \textstyle \operatorname {CH} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x){\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}
CH
1
x
{\displaystyle \operatorname {CH} {\tfrac {1}{x}}}
Delta-Distribution auch als Distribution verstanden werden kann.
Der Hauptwert eines Integrals bleibt jedoch im Allgemeinen nicht unter Substitution invariant. Wenn man etwa
die Funktion
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle \varphi (x)=x^{3}}
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
φ
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle \varphi (x)=x^{2}}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
∫
φ
(
a
)
φ
(
b
)
1
t
d
t
=
∫
a
b
1
φ
(
x
)
φ
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\frac {1}{\varphi (x)}}\varphi '(x)\,\mathrm {d} x}
wann immer
0
<
a
≤
b
{\displaystyle 0<a\leq b}
a
≤
b
<
0
{\displaystyle a\leq b<0}
a
<
0
<
b
{\displaystyle a<0<b}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
CH
∫
a
3
b
2
1
t
d
t
=
ln
|
b
2
a
3
|
{\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a^{3}}^{b^{2}}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=\ln {\biggl |}{\frac {b^{2}}{a^{3}}}{\biggr |}}
CH
∫
a
b
φ
′
(
x
)
φ
(
x
)
d
x
=
lim
ε
→
0
+
(
∫
a
−
ε
3
x
2
x
3
d
x
+
∫
ε
b
2
x
x
2
d
x
)
=
lim
ε
→
0
+
(
ln
|
b
2
a
3
|
+
ln
ε
)
=
−
∞
{\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a}^{b}{\frac {\varphi '(x)}{\varphi (x)}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\biggl (}\int _{a}^{-\varepsilon }{\frac {3x^{2}}{x^{3}}}\,\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{b}{\frac {2x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x{\biggr )}=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\biggl (}\ln {\biggl |}{\frac {b^{2}}{a^{3}}}{\biggr |}+\ln \varepsilon {\biggr )}=-\infty }
↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II . 2. Auflage. Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7105-6 , S. 100 .
↑ Eberhard Freitag , Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 , S. 177.↑ Cauchyscher Hauptwert . In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik . 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . ↑ Eberhard Freitag , Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 , S. 177–178. 
![{\displaystyle c\in {]a,b[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7049110d96de2ea1df37e2b91a08613c52e07b)
![{\displaystyle f\colon {[a,c[}\cup {]c,b]}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4e487fc6fca68e857adf3cc2da0d417a2aa694)
![{\displaystyle [a,c-\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3bab68ddf94d745c4eaf12620d7a75ebaeec1c)
![{\displaystyle [c+\epsilon ,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccba4f94e116f0e0da2c2dcc9ecf36c15c478239)
![{\displaystyle [-R,R]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090cf4334b9bfaf16a2418fe7d5f4effeff0fca1)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle ]0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ba32ee265793ab3329dad45b38f4f4b7457b68)
![{\displaystyle \operatorname {CH} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\epsilon }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left({\Big [}\ln(-x){\Big ]}_{-1}^{-\epsilon }+{\Big [}\ln(x){\Big ]}_{\epsilon }^{1}\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon )-\ln(\epsilon ))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a2181234a5ac129da15b23ac4e1d17004842e2)
![{\displaystyle [-1,-\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c4b068f64478ae879206cfa22205a003f7c53c)
![{\displaystyle [\epsilon ,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ca54432d74862cc2b203a77a9967a693091ceb)
