Hausdorff-Metrik

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand $\delta (A,B)$ zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen $A$, $B$ eines metrischen Raums $E$.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand $D$ zwischen einem Punkt $x$ und einer nichtleeren kompakten Teilmenge $K\subseteq E$ unter Rückgriff auf die Metrik $d$ des Raums $E$ als

$D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen $A$ und $B$ als

$\delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.$

Man kann zeigen, dass $\delta$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von $E$ ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

$\delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}$,

wobei

$A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}$,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens $\epsilon$ zur Menge $A$.

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz
• Auswahlsatz von Blaschke
• Gromov-Hausdorff-Metrik

Literatur

• M. I. Voitsekhovskii: Hausdorff metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).