in einem Gebiet mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand . Darin ist der Laplace-Operator, die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. In der häufig auftretenden Form
Dazu wird der Separationsansatz mit einer nur vom Ort abhängigen Funktion und einer nur von der Zeit abhängigen Funktion eingesetzt.
Bei der Diffusionsgleichung ergibt sich aus dem Ansatz
wobei der aufgesetzte Punkt die Zeitableitung symbolisiert. Weil die linke Seite nur vom Ort und die rechte Seite nur von der Zeit abhängt, müssen auf beiden Seiten Konstanten stehen:
Somit ist die Diffusionsgleichung überführt in die Helmholtz-Gleichung für und eine Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit für .
In gleicher Weise entsteht aus der ungedämpften Wellengleichung
,
und aus der gedämpften
.
Bei der Leitungsgleichung kommt noch der Term hinzu mit dem Ergebnis
.
Die Lösung der Helmholtz-Gleichung hängt vom Ort und den Randbedingungen ab, wohingegen die Differentialgleichung für bei jedem Aufgabentyp immer dieselbe ist.
Die Lösung der Diffusionsgleichung ist immer von der Form
,
wo die e-Funktion ist, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit abnimmt. Die ungedämpfte Wellengleichung setzt sich immer aus dem Sinus und Cosinus zusammen, beispielsweise:
.
So ergibt sich die Schwingung eines geraden Stabes, siehe Navier-Cauchy-Gleichungen. Bei der gedämpften Schwingung lautet die Lösung
mit ,
wobei drei Fälle zu unterscheiden sind:
Bei überkritischer Dämpfung mit hat die Lösung die gleiche Gestalt wie beim Diffusionsproblem, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit gegen null geht.
Bei unterkritischer Dämpfung ist , die Lösung eine exponentiell mit der Zeit abklingende Welle, und die lässt sich mit Konstanten und beschreiben mit
und
Bei kritischer Dämpfung wird , sodass die Lösung
lautet, deren Auslenkung schnell mit der Zeit abnimmt.
Die Laplace-Gleichung ist der Spezialfall . Die Poisson-Gleichung kann durch Substitution auf die Laplace und Helmholtz-Gleichung zurückgeführt werden, wenn gefunden wird, sodass ist.[3]
Weil nur die Minoren der ersten Spalte benötigt werden, wird der zweite Index Eins im Folgenden weggelassen. Die notwendige und hinreichende Bedingung für eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz-Gleichung ist
Darin sind
Metrikkoeffizienten, die das Betragsquadrat der kovarianten Basisvektoren des Koordinatensystems sind,
, und
irgendwelche Funktionen nur einer Koordinate.
Die erste Bedingung bedeutet, dass es möglich sein muss, eine Stäckel-Determinante zu bilden, die in der angegebenen Weise mit den Metrikkoeffizienten zusammenhängt. Die zweite Bedingung ist die Robertson Bedingung,[4]:510 die besagt, dass ein separierbares Produkt ist. Wenn das gewährleistet ist, dann bestimmen sich die Faktoren für die Lösungsfunktion und die Trennungskonstanten aus
Bei der Helmholtz-Gleichung ist und bei der Laplace-Gleichung ist entsprechend .[3]:6 In zylindrischen Koordinatensystemen ist die Zylinderachse als 3- oder z-Koordinate zu nehmen, wodurch im separierbaren Fall immer eine Stäckel-Matrix in der Form
gefunden werden kann. In axialsymmetrischen Koordinatensystemen ist die Symmetrieachse die z/3-Achse und der Drehwinkel um sie ist . Dort ist immer eine Matrix der Form
und entsprechend für die anderen Summanden, sodass umgestellt
entsteht. Die Minoren der ersten Spalte und die Determinante der Stäckel-Matrix haben die Eigenschaften
was allgemein auf alle 3×3-Matrizen mit Determinante ungleich null übertragbar ist, also keine spezielle Eigenschaft der Stäckel-Matrix ist. Deswegen verschwinden die letzten beiden Summanden in obiger Summe und der drittletzte reduziert sich zu , sodass mit den #Bedingungen aus der Summe
wird. Für Separierbarkeit der Helmholtz-Gleichung muss es Funktionen geben, sodass
mit zyklischen gilt. Das liefert für den ersten Summanden beispielsweise
und für die anderen Summanden entsprechendes, sodass die Helmholtz-Gleichung entsteht. Die Robertson Bedingung folgt aus den Bedingungen und .[4]:510
Die Helmholtz-Gleichung wird in der xy-Ebene von Wellenfunktionen der Form mit beliebigem Wellenvektor und beliebiger Amplitude gelöst.[5] Diese Lösung hat im Fall der Stromfunktion die Bedeutung eines verwirbelten ebenen Strömungsfelds: Eine Überlagerung von solchen Wellen mit , beliebiger Konstante c und sowie gleichen Amplituden ergibt parallele Streifen, periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei kompliziertere Strukturen, die eine -zählige Rotationssymmetrie aufweisen. Erhält jede der summierten Wellen eine eigene, zufällig gewählte Amplitude , dann können sich unregelmäßige Wirbelstrukturen ergeben, siehe Bild.
Die Funktionen „sin“ und „cos“ berechnen den Sinus und Cosinus. Die allgemeine Struktur dieser Lösung ist
Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band XII). Julius Springer, Berlin 1924 (450 S., online). Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift Die schwingende Membran ab S. 245 behandelt. Der Name Helmholtz-Gleichung tritt nicht auf.
Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band XLVIII). Julius Springer, Berlin 1937 (549 S., online). In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S. 471 verwiesen.
↑ abcdefg
P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7, S.3ff.
↑ abcd
P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I. McGraw-Hill, New York 1953 (archive.org).
↑
M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, Berlin, Heidelberg u. a. 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S.74f.