Busemann-Funktion

In der Riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Busemann-Funktion eine Funktion, die den "Abstand zu unendlich fernen Punkten" misst. Sie ist nach Herbert Busemann benannt.

Definition

Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $\gamma :\left(0,\infty \right)\rightarrow M$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodäte. Die Busemann-Funktion $b_{\gamma }:M\rightarrow \mathbb {R}$ ist definiert durch

$b_{\gamma }(x):=\lim _{t\rightarrow \infty }(t-d(x,\gamma (t))),\quad x\in M$.

Der Grenzwert existiert, weil $t-d(x,\gamma (t))$ monoton wachsend und durch $d(x,\gamma (0))$ nach oben beschränkt ist.

In gewisser Weise misst $b_{\gamma }$ den Abstand eines Punktes vom unendlich fernen Punkt $\gamma (\infty )$.

Horosphären

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in Rot) und eine zugehörige Horosphäre (in Blau); die Horosphäre hängt nicht von der Geodäte, sondern nur vom Endpunkt ab.

Die Niveaumengen der Busemann-Funktion heißen Horosphären. Im Fall von Flächen werden die (dann eindimensionalen) Horosphären auch als Horozykel bezeichnet.

Die Subniveaumengen $b_{\gamma }^{-1}(\left[a,\infty \right])$ für $a\in \mathbb {R}$ werden als Horobälle bezeichnet. Eine Horosphäre ist also der Rand eines Horoballs.

Den Endpunkt im Unendlichen $\gamma (\infty )$ der die Busemann-Funktion $b_{\gamma }$ definierenden Geodäten bezeichnet man als Mittelpunkt oder Zentrum der so definierten Horosphären und Horobälle.

Eigenschaften

$b_{\gamma }$ ist eine Lipschitz-Funktion mit Lipschitz-Konstante $1$.

Wenn $M$ eine Hadamard-Mannigfaltigkeit ist, dann ist $b_{\gamma }$ zweimal stetig differenzierbar und konkav (für jede Geodäte $\gamma$).

Dagegen ist $b_{\gamma }$ konvex, wenn $M$ nichtnegative Schnittkrümmung hat. Wenn $M$ nichtnegative Ricci-Krümmung hat, dann ist $b_{\gamma }$ subharmonisch, und wenn $M$ eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer holomorpher Bischnittkrümmung ist, dann ist $b_{\gamma }$ plurisubharmonisch.

Literatur

• Herbert Busemann: The geometry of geodesics. Academic Press Inc., New York, N. Y., 1955.

Weblinks

• Busemann function (Encyclopedia of Mathematics)