Hufeisenlemma

Das Hufeisenlemma gehört zu den Grundlagen der homologischen Algebra. Es besagt, dass die drei Moduln in einer kurzen exakten Sequenz so aufgelöst werden können (projektiv oder injektiv), dass eine kurze exakte Folge von Auflösungen entsteht.

Das Ergebnis kommt – allerdings ohne Namen – bereits 1956 im Buch von Cartan und Eilenberg vor.

Das Lemma

Sei $0\rightarrow L\,{\xrightarrow {f}}\,M\,{\xrightarrow {g}}N\rightarrow 0$ eine kurze exakte Folge von Moduln, oder allgemeiner von Objekten in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$. Seien $P_{*}^{L}\,{\xrightarrow {\varepsilon ^{L}}}\,L$ und $P_{*}^{N}\,{\xrightarrow {\varepsilon ^{N}}}\,N$ projektive Auflösungen. Dann gibt es eine projektive Auflösung $P_{*}^{M}\,{\xrightarrow {\varepsilon ^{M}}}\,M$ und Kettenhomomorphismen $P_{*}^{L}\,{\xrightarrow {f_{*}}}\,P_{*}^{M}\,{\xrightarrow {g_{*}}}\,P_{*}^{N}$ derart, dass

1. $0\rightarrow P_{*}^{L}\,{\xrightarrow {f_{*}}}\,P_{*}^{M}\,{\xrightarrow {g_{*}}}\,P_{*}^{N}\rightarrow 0$ ist eine kurze exakte Folge von Kettenkomplexen. Das heißt, in jedem Grad ist $0\rightarrow P_{n}^{L}\,{\xrightarrow {f_{n}}}\,P_{n}^{M}\,{\xrightarrow {g_{n}}}\,P_{n}^{N}\rightarrow 0$ eine – aufgrund der Projektivität von $P_{n}^{N}$ notwendigerweise zerfallende – kurze exakte Sequenz.
2. Das resultierende Diagram
   

   

   Das resultierende Diagramm

   
   kommutiert. Das heißt, es ist $f\circ \varepsilon ^{L}=\varepsilon ^{M}\circ f_{0}$ und $g\circ \varepsilon ^{M}=\varepsilon ^{N}\circ g_{0}$.

Die entsprechende Aussage für injektive Auflösungen gilt auch.

Zum Namen

Das „Hufeisen“ (injektiver Fall)

Die Input-Daten ähneln einem Hufeisen, das Lemma füllt das Hufeisen aus.

Anwendungen

• Es gibt zwei Wege, den Begriff abgeleiteter Funktor zu definieren. Der Beweis, dass diese beide Wege äquivalent sind, benutzt das Hufeisenlemma und das Schlangenlemma. Die beiden Wege:
  1. Konstruktion über eine projektive bzw. injektive Auflösung.
  2. Charakterisierung als ein universeller δ-Funktor.
• Das Hufeisenlemma erlaubt auch die Konstruktion von Cartan–Eilenberg-Auflösungen.

Literatur

• Joseph J. Rotman: An introduction to homological algebra. 2. Auflage. Springer Verlag, New York 2009, ISBN 978-0-387-24527-0, S. 349–350. 
• Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 37.