Die Irwin-Hall-Verteilung , nach Joseph Oscar Irwin[ 1] Philip Hall [ 2]
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
Zufallsvariablen .
Die Dichtefunktion der Irwin-Hall-Verteilung für
n
{\displaystyle n}
f
n
(
x
)
=
1
2
(
n
−
1
)
!
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
x
−
k
)
n
−
1
sgn
(
x
−
k
)
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)}
Diese Tabelle zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen bei Summierung von einer bis sechs unabhängigen Zufallsvariablen, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind. Sie haben den Namen Irwin-Hall-Verteilung.
Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung . Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz .
Verteilungsdichte
Bild
f
1
(
x
)
=
{
0
x
<
0
1
0
≤
x
≤
1
0
x
>
1
{\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0&x<0\\1&0\leq x\leq 1\\0&x>1\end{cases}}}
f
2
(
x
)
=
{
0
x
<
0
x
0
≤
x
≤
1
2
−
x
1
≤
x
≤
2
0
x
>
2
{\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\\0&x>2\end{cases}}}
f
3
(
x
)
=
{
0
x
<
0
x
2
2
0
≤
x
≤
1
−
x
2
+
3
x
−
3
2
1
≤
x
≤
2
(
3
−
x
)
2
2
2
≤
x
≤
3
0
x
>
3
{\displaystyle f_{3}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{2}}{2}}&0\leq x\leq 1\\-x^{2}+3x-{\frac {3}{2}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {(3-x)^{2}}{2}}&2\leq x\leq 3\\0&x>3\end{cases}}}
f
4
(
x
)
=
{
0
x
<
0
x
3
6
0
≤
x
≤
1
−
x
3
2
+
2
x
2
−
2
x
+
2
3
1
≤
x
≤
2
x
3
2
−
4
x
2
+
10
x
−
22
3
2
≤
x
≤
3
(
4
−
x
)
3
6
3
≤
x
≤
4
0
x
>
4
{\displaystyle f_{4}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{3}}{6}}&0\leq x\leq 1\\-{\frac {x^{3}}{2}}+2x^{2}-2x+{\frac {2}{3}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {x^{3}}{2}}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {(4-x)^{3}}{6}}&3\leq x\leq 4\\0&x>4\end{cases}}}
f
5
(
x
)
=
{
0
x
<
0
x
4
24
0
≤
x
≤
1
−
5
+
20
x
−
30
x
2
+
20
x
3
−
4
x
4
24
1
≤
x
≤
2
155
−
300
x
+
210
x
2
−
60
x
3
+
6
x
4
24
2
≤
x
≤
3
−
655
+
780
x
−
330
x
2
+
60
x
3
−
4
x
4
24
3
≤
x
≤
4
(
5
−
x
)
4
24
4
≤
x
≤
5
0
x
>
5
{\displaystyle f_{5}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{4}}{24}}&0\leq x\leq 1\\{\frac {-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}}{24}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}}{24}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}}{24}}&3\leq x\leq 4\\{\frac {(5-x)^{4}}{24}}&4\leq x\leq 5\\0&x>5\end{cases}}}
f
6
(
x
)
=
{
0
x
<
0
x
5
120
0
≤
x
≤
1
6
−
30
x
+
60
x
2
−
60
x
3
+
30
x
4
−
5
x
5
120
1
≤
x
≤
2
−
237
+
585
x
−
570
x
2
+
270
x
3
−
60
x
4
+
5
x
5
60
2
≤
x
≤
3
2193
−
3465
x
+
2130
x
2
−
630
x
3
+
90
x
4
−
5
x
5
60
3
≤
x
≤
4
−
10974
+
12270
x
−
5340
x
2
+
1140
x
3
−
120
x
4
+
5
x
5
120
4
≤
x
≤
5
(
6
−
x
)
5
120
5
≤
x
≤
6
0
x
>
6
{\displaystyle f_{6}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{5}}{120}}&0\leq x\leq 1\\{\frac {6-30x+60x^{2}-60x^{3}+30x^{4}-5x^{5}}{120}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {-237+585x-570x^{2}+270x^{3}-60x^{4}+5x^{5}}{60}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {2193-3465x+2130x^{2}-630x^{3}+90x^{4}-5x^{5}}{60}}&3\leq x\leq 4\\{\frac {-10974+12270x-5340x^{2}+1140x^{3}-120x^{4}+5x^{5}}{120}}&4\leq x\leq 5\\{\frac {(6-x)^{5}}{120}}&5\leq x\leq 6\\0&x>6\end{cases}}}
Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist
f
1
(
x
)
=
{
0
,
wenn
x
≤
0
1
,
wenn
x
∈
]
0
,
1
]
0
,
wenn
x
>
1
.
{\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\1,&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\0,&{\text{wenn }}x>1{\text{.}}\\\end{cases}}}
Es sei
f
k
(
x
)
=
{
0
,
wenn
x
≤
0
f
k
,
1
(
x
)
,
wenn
x
∈
]
0
,
1
]
⋯
f
k
,
j
(
x
)
,
wenn
x
∈
]
j
−
1
,
j
]
⋯
f
k
,
k
(
x
)
,
wenn
x
∈
]
k
−
1
,
k
]
0
,
wenn
x
>
k
{\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\f_{k,\,1}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\\cdots \\f_{k,\,j}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]j-1,\,j]\\\cdots \\f_{k,\,k}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]k-1,\,k]\\0,&{\text{wenn }}x>k\\\end{cases}}}
die Verteilungsdichte der Summe von
k
{\displaystyle k}
Es bezeichnet also
f
k
,
j
(
x
)
{\displaystyle f_{k,\,j}(x)}
k
{\displaystyle k}
]
j
−
1
,
j
]
{\displaystyle ]j-1,\,j]}
Im Folgenden bezeichne
Z
k
{\displaystyle Z_{k}\,}
f
k
{\displaystyle f_{k}}
Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich Folgendes: Für
x
∈
]
j
−
1
,
j
]
{\displaystyle x\in \,]j-1,j]}
f
k
+
1
,
j
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
f
k
(
t
−
x
)
⋅
f
1
(
x
)
d
x
=
∫
0
1
f
k
(
t
−
x
)
⋅
1
d
x
Substitution:
y
=
t
−
x
=
∫
t
−
1
t
f
k
(
y
)
d
y
=
∫
t
−
1
j
−
1
f
k
,
j
−
1
(
y
)
d
y
+
∫
j
−
1
t
f
k
,
j
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{k+1,\,j}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{k}(t-x)\cdot f_{1}(x)\,dx\\&=\int _{0}^{1}f_{k}(t-x)\cdot 1\,dx&&{\text{Substitution: }}y=t-x\\&=\int _{t-1}^{t}f_{k}(y)\,dy\\&=\int _{t-1}^{j-1}f_{k,\,j-1}(y)\,dy+\int _{j-1}^{t}f_{k,\,j}(y)\,dy.\end{aligned}}}
Das heißt, der
j
{\displaystyle j}
f
k
+
1
{\displaystyle f_{k+1}}
f
k
{\displaystyle f_{k}}
↑ Oscar Irwin: On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II . In: Biometrika Band 19 , Nr. 3/4 , 1927, S. 225–239 , doi :10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR :2331960 .
↑ Philip Hall : The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable . In: Biometrika . Band 19 , Nr. 3/4 , 1927, S. 240–245 , doi :10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR :2331961 . ![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\1,&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\0,&{\text{wenn }}x>1{\text{.}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663606421cab3122f437d845aa6777d5b5f6c863)
![{\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\f_{k,\,1}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\\cdots \\f_{k,\,j}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]j-1,\,j]\\\cdots \\f_{k,\,k}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]k-1,\,k]\\0,&{\text{wenn }}x>k\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825102322e92e8d13efa4f5f371a7a97c4459ff3)
![{\displaystyle ]j-1,\,j]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e206abd4ae14e221e947347bc10fe00dd196bcce)
![{\displaystyle x\in \,]j-1,j]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728aee4a8113098f98d8056df4a86161dbb476fe)
