Jacobis Formel

Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen $t$ abhängenden Matrix $A(t)$ durch die Adjunkte von $A$ und der Ableitung von $A$ nach $t$ aus.

Wenn die $n\times n$-Matrix $A(t)\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine differenzierbare Funktion eines Parameters $t\in \mathbb {R}$ ist, dann besagt der Satz:

$\partial _{t}\det A=\operatorname {Sp} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)$

Darin bezeichnet $\partial _{t}$ die Ableitung nach $t$, $\det$ die Determinante, $\operatorname {Sp}$ die Spur und $\operatorname {adj}$ die Adjunkte. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen $\langle A,B\rangle :=\operatorname {Sp} (A^{\mathrm {T} }B)$ kann das mit der Kofaktormatrix $\operatorname {cof} (A)=\operatorname {adj} (A)^{\mathrm {T} }$ als

$\partial _{t}\det(A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle$

notiert werden. Wenn $A$ invertierbar ist, schreibt sich das

$\partial _{t}\det(A)=\det(A)\langle (A^{-1})^{\mathrm {T} },\partial _{t}A\rangle$

Herleitung

Das charakteristische Polynom einer $n\times n$-Matrix $M$ lautet

$\det(\lambda E-M)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}$,

wobei $E$ die Einheitsmatrix, $c_{n}=1$ und $c_{n-1}=-\operatorname {Sp} (M)$ ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei $\det(A)\neq 0$, sodass die Inverse existiert, und $\lambda =\eta ^{-1}$:

${\begin{aligned}\det(A+\eta \,H)&=\det \left(\eta \,A\left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\right)=\eta ^{n}\det(A)\det \left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\\&=\eta ^{n}\det(A)\left(\eta ^{-n}+\eta ^{1-n}\operatorname {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2-n})\right)\\&=\det(A)\left(1+\eta \,\operatorname {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2})\right),\end{aligned}}$

worin das Landau-Symbole ${\mathcal {O}}(\eta ^{k})$ Terme zusammenfasst, die $\eta$ in mindestens $k$-ter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

$D_{H}\det(A){:}=\lim _{\eta \to 0}{\frac {\det(A+\eta \,H)-\det(A)}{\eta }}=\det(A)\,\operatorname {Sp} (A^{-1}H)$

und nach der Kettenregel die Ableitung

$\partial _{t}\det(A)=\det(A)\operatorname {Sp} (A^{-1}\partial _{t}A)=\operatorname {Sp} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle$

Die Menge der invertierbaren Matrizen in $\mathbb {R} ^{n\times n}$ sind eine dichte Teilmenge des Matrizenraums $\mathbb {R} ^{n\times n}$, weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Anwendung

Die Determinante des Deformationsgradienten $F$ gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand $\mathrm {d} V$ und in seinem aktuellen deformierten Zustand $\mathrm {d} v$:

$\det F=\mathrm {d} v/\mathrm {d} V>0$.

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

${\begin{aligned}\partial _{t}\det F&=\langle \operatorname {cof} F,\partial _{t}F\rangle \\&=\det F\langle (F^{-1})^{\mathrm {T} },\partial _{t}F\rangle \\&=\det F\operatorname {Sp} (F^{-1}\partial _{t}F)\\&=\det F\operatorname {Sp} l\\&=\det F\operatorname {div} {\vec {v}}\end{aligned}}$

Darin ist $l=\partial _{t}FF^{-1}$ der Geschwindigkeitsgradient, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist.