Kleeblattschlinge

Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.

Parametrisierung und Invarianten

Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:

x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\qquad z=\sin 3t.

Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch $(r-2)^{2}+z^{2}=1$ definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.^[1]

Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist

\Delta (t)=t-1+t^{-1},

und ihr Jones-Polynom ist

V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}

oder

V(q)=q+q^{3}-q^{4},

je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die Knotengruppe hat die Präsentierung

\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle \,

und ist damit isomorph zur Zopfgruppe $B_{3}$ .

Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu $SL(2,\mathbb {R} )/SL(2,\mathbb {Z} )$ , also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe $SL(2,\mathbb {Z} )$ .

Symmetrie

Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.^[2]

Eine linkshändige Kleeblattschlinge.
Eine rechtshändige Kleeblattschlinge.

In der Kunst

Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.