Zusammenhangskomponente der Eins

Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe mit neutralem Element $1\in G$. Dann bezeichnet $G^{0}$ die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von $G$, die das neutrale Element enthält.

Eigenschaften

• $G^{0}$ ist eine abgeschlossene Teilmenge von $G$.
• $G^{0}$ ist eine charakteristische Untergruppe von $G$ und insbesondere ein Normalteiler.
• Die Faktorgruppe $G/G^{0}$ ist eine total unzusammenhängende Hausdorffsche topologische Gruppe. Sie wird als Komponentengruppe von $G$ bezeichnet, ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von $G$.
• Wenn $G$ lokal wegzusammenhängend (zum Beispiel eine Lie-Gruppe) ist, dann ist $G^{0}$ offen.
• Wenn $G^{0}$ offen ist, dann ist $G/G^{0}$ diskret.
• Wenn $G$ eine algebraische Gruppe ist, dann ist $G/G^{0}$ endlich.

Beispiele

• Für die allgemeine lineare Gruppe $G=GL(n,\mathbb {R} )$ ist $G^{0}=GL^{+}(n,\mathbb {R} )$ die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Die Komponentengruppe $G/G^{0}$ ist isomorph zur zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
• Für $G=GL(n,\mathbb {C} )$ ist $G^{0}=G$.
• Für eine total unzusammenhängende Gruppe $G$ ist $G^{0}=\left\{1\right\}$.

Literatur

• Armand Borel: Linear algebraic groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 126. Springer-Verlag, New York, 1991. ISBN 0-387-97370-2
• Lew Pontrjagin: Topological groups. Translated from the second Russian edition by Arlen Brown Gordon and Breach Science Publishers, Inc., New York-London-Paris, 1966.
• Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
• Igor Schafarewitsch: Basic algebraic geometry. Translated from the Russian by K. A. Hirsch. Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. Springer Study Edition. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.

Weblinks

• Connected component of the identity (Encyclopedia of Mathematics)