Kurvenkomplex
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In der Mathematik ist der Kurvenkomplex einer Fläche ein wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Abbildungsklassengruppe der Fläche.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zu einer Fläche wird ein abstrakter Simplizialkomplex assoziiert. Er ist durch die folgenden Daten gegeben.
0-Simplizes: Jeder Isotopieklasse wesentlicher einfacher geschlossener Kurven in entspricht eine Ecke in .
1-Simplizes: Zwei Ecken in sind durch eine Kante verbunden, wenn für die Schnittzahl der entsprechenden Isotopieklassen von Kurven gilt .
k-Simplizes: Ecken spannen genau dann einen k-Simplex auf, wenn sie paarweise durch Kanten verbunden sind. ist also ein Fahnenkomplex.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Für ist der Kurvenkomplex leer. Für ist der Kurvenkomplex eine abzählbare Menge von 0-Simplizes.
- Für ist zusammenhängend.
- Der Kurvenkomplex ist ein Gromov-hyperbolischer Raum. Außer für hat er unendlichen Durchmesser.
Anwendungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Aus dem Zusammenhang des Kurvenkomplexes folgt, dass die Abbildungsklassengruppe endlich erzeugt ist.
- Zwei Simplizes in bestimmen eine Heegaard-Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit. Die Zerlegung ist genau dann reduzibel, wenn die beiden Simplizes eine gemeinsame Ecke haben. Die Zerlegung ist schwach reduzibel, wenn die beiden Simplizes durch eine Kante verbunden sind.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9 online (pdf)
- Nikolai Ivanov: Mapping class groups. Handbook of geometric topology, 523–633, North-Holland, Amsterdam, 2002.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Saul Schleimer: Notes on the complex of curves