Kurvenkomplex

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In der Mathematik ist der Kurvenkomplex einer Fläche ein wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Abbildungsklassengruppe der Fläche.

Zu einer Fläche wird ein abstrakter Simplizialkomplex assoziiert. Er ist durch die folgenden Daten gegeben.

0-Simplizes: Jeder Isotopieklasse wesentlicher einfacher geschlossener Kurven in entspricht eine Ecke in .

1-Simplizes: Zwei Ecken in sind durch eine Kante verbunden, wenn für die Schnittzahl der entsprechenden Isotopieklassen von Kurven gilt .

k-Simplizes: Ecken spannen genau dann einen k-Simplex auf, wenn sie paarweise durch Kanten verbunden sind. ist also ein Fahnenkomplex.

  • Für ist der Kurvenkomplex leer. Für ist der Kurvenkomplex eine abzählbare Menge von 0-Simplizes.
  • Für ist zusammenhängend.
  • Der Kurvenkomplex ist ein Gromov-hyperbolischer Raum. Außer für hat er unendlichen Durchmesser.
  • Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9 online (pdf)
  • Nikolai Ivanov: Mapping class groups. Handbook of geometric topology, 523–633, North-Holland, Amsterdam, 2002.