In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert .
Das Lehmer-Mittel
n
{\displaystyle n}
positiver reeller Zahlen
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
zur Stufe
p
{\displaystyle p}
ist wie folgt definiert:
L
p
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
∑
k
=
1
n
a
k
p
∑
k
=
1
n
a
k
p
−
1
.
{\displaystyle L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p-1}}}.}
Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten
w
=
(
w
1
,
…
,
w
n
)
{\displaystyle w=(w_{1},\ldots ,w_{n})}
. Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:
L
p
,
w
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
∑
k
=
1
n
w
k
a
k
p
∑
k
=
1
n
w
k
a
k
p
−
1
.
{\displaystyle L_{p,w}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p-1}}}.}
Für das Lehmer-Mittel gilt
lim
p
→
−
∞
L
p
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
min
{
a
1
,
…
,
a
n
}
{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}
ist der Minimalwert.
L
0
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
n
∑
k
=
1
n
1
a
k
=
n
1
a
1
+
⋯
+
1
a
n
{\displaystyle L_{0}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}
ist das harmonische Mittel .
Für
n
=
2
{\displaystyle n=2}
ist
L
1
2
(
a
1
,
a
2
)
=
a
1
+
a
2
1
a
1
+
1
a
2
=
a
1
a
2
{\displaystyle L_{\frac {1}{2}}(a_{1},a_{2})={\frac {{\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}}{{\frac {1}{\sqrt {a_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {a_{2}}}}}}={\sqrt {a_{1}a_{2}}}}
das geometrische Mittel .
L
1
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
∑
k
=
1
n
a
k
n
=
a
1
+
⋯
+
a
n
n
{\displaystyle L_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}
ist das arithmetische Mittel .
L
2
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
∑
k
=
1
n
a
k
2
a
1
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{2}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}
ist das schon Eudoxos von Knidos bekannte kontraharmonische Mittel[ 1] .
lim
p
→
∞
L
p
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
max
{
a
1
,
…
,
a
n
}
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}
ist der Maximalwert.
Das kontraharmonische Mittel ist im Gegensatz zu den anderen fünf Spezialfällen nicht monoton[ 2] , d. h. aus
a
i
≤
b
i
{\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}
für alle
i
{\displaystyle i}
folgt nicht
L
2
(
a
1
,
…
,
a
n
)
≤
L
2
(
b
1
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq L_{2}(b_{1},\ldots ,b_{n})}
.
↑ Hischer/Lambert: "Was ist ein numerischer Mittelwert?"
↑ Mittelwertaxiome
D. H. Lehmer: On the compounding of certain means. J. Math. Anal. Appl. 36 (1971) S. 183–200
P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities . Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).