Leibniz-Reihe

Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl $\pi$, die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsb ={\frac {\pi }{4}}$.

Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert bekannt, weswegen sie mittlerweile auch Madhava-Leibniz-Reihe genannt wird, und dem schottischen Mathematiker Gregory bereits vor 1671; Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu. Die Reihe wird daher manchmal auch zusätzlich nach Gregory benannt.

Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium. Die Konvergenz ist logarithmisch.

Herleitung

Die Leibniz-Reihe kann so hergeleitet werden:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{2k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\biggl [}\arctan(x){\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$

Auf der Geometrischen Reihe basiert die Umwandlung von der unendlichen Summe der Standard-Polynomfunktionen zur gezeigten gebrochen rationalen Funktion.

Konvergenzgeschwindigkeit

Das Restglied der Summe nach $n$ Summanden beträgt

$R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}-{\frac {\pi }{4}}=-\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$.

Mit der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt

$|R_{n}|\leq {\frac {1}{2n+1}}$.

Genauere Betrachtungen zeigen sogar, dass

$|R_{n}|<{\frac {1}{4n}}$.

Mit $n$ Summanden kann man also $s$ Nachkommastellen mit einem Fehler < 0,5 in der $s$-ten Nachkommastelle erhalten:

$s(n)=\lg(2n)$.

Die Anzahl benötigter Summanden $n$ für $s$ sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis beträgt entsprechend

$n(s)={\frac {1}{2}}\cdot 10^{\textstyle s}$.

Eine Liste von Partialsummen, die sich aus Leibniz’ Formel ergeben

Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sich eine Näherung der Kreiszahl $\pi$ berechnen, denn es ist

$\pi =4\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)$.

Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.

Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von $\pi$ nicht geeignet, auch nicht nach Umformungen.

Bemerkenswert ist die Tatsache, dass in der letzten Tabellenzeile die 9. Nachkommastelle noch nicht richtig ist, hingegen die nächsten 6 (...589793...) mit der Kreiszahl $\pi$ übereinstimmen.

n (Anzahl der berechneten Brüche)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (Ergebnis)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (Ergebnis)	Mittelwert
2	2,6666666666666665	3,4666666666666668	3,0666666666666664
4	2,8952380952380952	3,3396825396825394	3,1174603174603175
8	3,0170718170718169	3,2523659347188758	3,1347188758953464
16	3,0791533941974261	3,2003655154095472	3,1397594548034866
32	3,1103502736986859	3,1718887352371476	3,1411195044679165
64	3,1259686069732875	3,1569763589112720	3,1414724829422798
100	3,1315929035585528	3,1514934010709905	3,1415431523147719
1000	3,1405926538397928	3,1425916543395429	3,1415921540896679
10000	3,1414926535900429	3,1416926435905430	3,1415926485902927
100000	3,1415826535897935	3,1416026534897941	3,1415926535397936
1000000	3,1415916535897930	3,1415936535887932	3,1415926535892931
10000000	3,1415925535897928	3,1415927535897827	3,1415926535897878
100000000	3,1415926435897932	3,1415926635897931	3,1415926535897931
1000000000	3,1415926525897930	3,1415926545897932	3,1415926535897931

Konvergenz-Beschleunigung

Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz-Reihe die schneller konvergierende Reihe (Nicolas Fatio, 1705)

${\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 5}}+...+{\frac {1\cdot 2...n}{1\cdot 3\cdot 5...(2n+1)}}+...\right).$

Verbesserte Verfahren mit anderen Reihen sind im Artikel Kreiszahl aufgeführt.

Analoge Abwandlungen

Zur Leibniz-Reihe können einige analoge Abwandlungen erstellt werden.
Das bekannteste Analogon ist die unendliche alternierende Differenz aller natürlicher Zahlen, welche direkt zum Logarithmus Naturalis von Zwei führt:

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\approx 0{,}6931471805599453=\ln(2)$

Herleitung dieses Wertes:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x+1}}\,\mathrm {d} x=\ln(2)$

Dies ist ein kubisches Analogon zur Leibniz-Reihe:

$1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{10}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}\approx 0{,}835648848264721={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)$

Herleitung dieses Wertes:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{3k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{3k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{3}+1}}\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{3}}\,{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{6}}\,{\frac {2x-1}{x^{2}-x+1}}\,\mathrm {d} x=$

$={\biggl \{}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(2x-1){\bigr ]}+{\frac {1}{6}}\ln {\biggl [}{\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigr )}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl (}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigr )}+{\frac {1}{6}}\ln(4)={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\,\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)$

Und das ist ein quartisches Analogon zur Leibniz-Reihe:

$1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{13}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}\approx 0{,}866972987339911={\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\pi +{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\operatorname {arsinh} (1)$

Herleitung dieses Wertes:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{4k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{4k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{4}+1}}\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}}+{\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,{\frac {2x+{\sqrt {2}}}{x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,{\frac {2x-{\sqrt {2}}}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}\,\mathrm {d} x=$

$={\biggl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan {\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}{\bigr )}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl (}{\frac {x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=$

$={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan(1)+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl (}{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\pi +{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\operatorname {arsinh} (1)$

Siehe auch

• Wallissches Produkt
• Arkustangens

Literatur

• V. I. Bityutskov: Leibniz series. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Weblinks

• 3Blue1Brown: Pi hiding in prime regularities auf YouTube, abgerufen am 18. Oktober 2023 (Zahlentheoretischer Zugang zur Leibniz-Reihe).