Kroneckersches Lemma

Das Kroneckersche Lemma handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Es ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker.

Lemma

Sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen.

Sei $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monotone, unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen.

Falls $\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b_{k}}}$ konvergiert, so folgt ${\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to 0$.

Folgerung

Obiges Lemma vereinfacht sich beim Setzen von $b_{k}=k$ für alle $k\in \mathbb {N}$ zu folgender Aussage:

Sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen.

Falls $\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{k}}$ konvergiert, so folgt ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to 0$.

Anwendung

Das Kroneckersche Lemma kann man zum Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwenden.

Literatur

• Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.  Seiten 190 und 194
• Acta Mathematica Hungarica, Volume 44, Numbers 1–2, März 1984, Seiten 143 und 144