Liste orthogonaler Koordinatensysteme
Diese Liste orthogonaler Koordinatensysteme führt orthogonale Koordinatensysteme im zwei oder dreidimensionalen euklidischen Raum auf.[1][2][3] Das Attribut orthogonal wird für alle im Folgenden behandelten Koordinatensysteme im Stillen vorausgesetzt.
Die Tabellen enthalten folgende Spalten:
- Form
- Die meisten Koordinatensysteme besitzen im deutschen Sprachraum keine etablierte Bezeichnung, was auch oft im angelsächsischen Sprachraum der Fall ist. Die Angabe in der ersten Spalte soll die Koordinatenflächen charakterisieren.
- Komplexe Transformation (nur bei zylindrischen Koordinatensystemen)
- Zylindrische Koordinatensysteme entstehen durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene, die auch als komplexe Ebene von Zahlen z=x+i y mit imaginärer Einheit i2=-1 aufgefasst werden kann. Die in dieser Spalte eingetragene Holomorphe Funktion z=f(ζ) der komplexen Zahl ζ=u+i v, transformiert die Koordinatenlinien des jeweiligen Koordinatensystems winkeltreu in die Koordinatenlinien des kartesischen Koordinatensystems. Die Koordinatenlinien werden zu namensgebenden Zylindern extrudiert, die keineswegs kreisförmige oder geschlossene Querschnitte besitzen müssen.
- Umrechnung
- Hier wird der Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten angegeben. Als Funktionen werden benutzt:
- Winkelfunktionen sin, cos, tan, csc, sec, cot,
- Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh, csch, sech, coth,
- Jacobische elliptische Funktionen sn, cn, dn
- Exponentialfunktionen a…, e…=exp(…)
- Logarithmusfunktionen loga, ln
- Metrikkoeffizienten
- Dies sind die Betragsquadrate der kovarianten Basisvektoren des Koordinatensystems. Deren Wurzeln sind die Metrischen Faktoren , die in den Formeln für Skalar- und Kreuzprodukt sowie den Differentialoperatoren auftauchen.
- Trennbarkeit
- Hier wird angegeben, ob die Trennung der Veränderlichen in der Laplace- oder Helmholtz-Gleichung im Raum (3D) oder in der Ebene (2D) mit dem einfachen Ansatz (S) oder dem allgemeinen Ansatz (R) oder gar nicht (X) gelingt.
Durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene entstehen #Zylindrische Koordinaten[1]:79ff und durch Rotation um eine in der Ebene liegende Achse #Rotierte Koordinaten.[1]:99ff Mit Hyperlinks↓R↑Z kann gegebenenfalls vom zylindrischen Koordinatensystem zum verwandten rotierten bzw. andersherum gesprungen werden.
Spezielle Koordinatensysteme
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Diese Gruppe umfasst das Kartesische Koordinatensystem und Koordinatensysteme die weder durch Extrusion noch durch Rotation erhalten werden.
Form | Umrechnung | Metrikkoeffizienten | Trennbarkeit | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Helmholtz | Laplace | |||||
3D | 2D | 3D | 2D | |||
Kartesisch | Q∈SO(3) | S | S | S | S | |
Ellipsoid
ɑ,b∈ℝ |
|
S | S | S | S | |
Paraboloid
ɑ,b∈ℝ |
S | S | S | S | ||
Kegel
b,c∈ℝ |
S | S | S | S |
Zylindrische Koordinaten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Diese Systeme entstehen durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene (in z-Richtung). Die dritte Koordinate ist die Höhe z über der xy-Ebene (nicht zu verwechseln mit der komplexen Zahl gleichen Namens in der Spalte Komplexe Transformation.)[1]:79ff
Form | Komplexe Transformation |
Umrechnung | Metrikkoeffizienten | Trennbarkeit | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Helmholtz | Laplace | ||||||
3D | 2D | 3D | 2D | ||||
Polar | S | S | S | S | |||
Parabolisch↓R | S | S | S | S | |||
Elliptisch↓Rx,↓Ry
ɑ∈ℝ |
|
S | S | S | S | ||
Bipolar↓Rx,↓Ry ɑ∈ℝ |
|
X | X | X | S | ||
Tangierende Zylinder↓R | X | X | X | S | |||
Kardioidisch↓R |
|
X | X | X | S | ||
Hyperbel↓R |
|
X | X | X | S | ||
Rosette |
|
X | X | X | S | ||
Cassinische Kurve ɑ∈ℝ |
|
X | X | X | S |
Rotierte Koordinaten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Diese Systeme entstehen durch Rotation der Koordinatenlinien in der xy-Ebene um eine in der Ebene liegende Achse. Die dritte Koordinate ist der Drehwinkel ψ.[1]:99ff
Form | Umrechnung | Metrikkoeffizienten | Trennbarkeit | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Helmholtz | Laplace | |||||
3D | 2D | 3D | 2D | |||
Gestreckt Sphäroid↑Z ɑ∈ℝ |
S | S | S | S | ||
Abgeplattet Sphäroid↑Z ɑ∈ℝ |
S | S | S | S | ||
Parabolisch↑Z | S | S | S | S | ||
Toroidal↑Z ɑ∈ℝ |
X | X | R | R | ||
Bizylindrisch↑Z ɑ∈ℝ |
X | X | R | R | ||
Tangierende Kugeln↑Z | X | X | R | R | ||
Kardioidisch↑Z | X | X | R | R | ||
Hyperboloid↑Z | X | X | X | X |
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ a b c d e P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7.
- ↑ P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory For Engineers. D. Van Nostrand Company, Toronto, London, New York 1961 (archive.org).
- ↑ P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I. McGraw-Hill, New York 1953, S. 655 ff. (archive.org).