In der Mathematik ist eine unimodale Folge eine Folge, die bis zu einem Maximum monoton wächst und dann monoton fällt. (Das Maximum kann mehrmals hintereinander angenommen werden.)
Für festes
n
{\displaystyle n}
bilden die Binomialkoeffizienten
(
n
k
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)}
jeweils eine unimodale Folge.
Ein Beispiel ist die Folge der Binomialkoeffizienten
(
n
k
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)}
für festes
n
{\displaystyle n}
und
k
=
0
,
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}
, denn es gilt
(
n
0
)
≤
(
n
1
)
≤
⋯
≤
(
n
n
2
)
≥
(
n
n
2
+
1
)
≥
⋯
≥
(
n
n
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}n\\0\end{array}}\right)\leq \left({\begin{array}{c}n\\1\end{array}}\right)\leq \cdots \leq \left({\begin{array}{c}n\\{\frac {n}{2}}\end{array}}\right)\geq \left({\begin{array}{c}n\\{\frac {n}{2}}+1\end{array}}\right)\geq \cdots \geq \left({\begin{array}{c}n\\n\end{array}}\right)}
für gerade
n
{\displaystyle n}
und
(
n
0
)
≤
(
n
1
)
≤
⋯
≤
(
n
n
−
1
2
)
=
(
n
n
+
1
2
)
≥
⋯
≥
(
n
n
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}n\\0\end{array}}\right)\leq \left({\begin{array}{c}n\\1\end{array}}\right)\leq \cdots \leq \left({\begin{array}{c}n\\{\frac {n-1}{2}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n\\{\frac {n+1}{2}}\end{array}}\right)\geq \cdots \geq \left({\begin{array}{c}n\\n\end{array}}\right)}
für ungerade
n
{\displaystyle n}
.
Eine Folge
(
a
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
heißt log-konkav , wenn
a
i
2
≥
a
i
−
1
a
i
+
1
{\displaystyle a_{i}^{2}\geq a_{i-1}a_{i+1}}
für alle
i
≥
1
{\displaystyle i\geq 1}
. Der Name leitet sich daraus ab, dass die Folge der Logarithmen
(
log
(
a
i
)
)
i
∈
N
{\displaystyle (\log(a_{i}))_{i\in \mathbb {N} }}
die Ungleichung
log
(
a
i
−
1
)
+
log
(
a
i
+
1
)
2
≤
log
(
a
i
)
{\displaystyle {\frac {\log(a_{i-1})+\log(a_{i+1})}{2}}\leq \log(a_{i})}
erfüllt, also konkav ist.
Jede log-konkave Folge (ohne Nullen) ist unimodal. Tatsächlich folgt aus
a
i
2
≥
a
i
−
1
a
i
+
1
{\displaystyle a_{i}^{2}\geq a_{i-1}a_{i+1}}
für alle
i
≥
1
{\displaystyle i\geq 1}
, dass die Folge der Quotienten
a
i
a
i
−
1
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{i-1}}}}
monoton fallend ist. Sei dann
j
≥
1
{\displaystyle j\geq 1}
der letzte Quotient mit
a
j
a
j
−
1
≥
1
{\displaystyle {\frac {a_{j}}{a_{j-1}}}\geq 1}
(bzw.
j
=
0
{\displaystyle j=0}
, falls bereits
a
1
a
0
<
1
{\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{0}}}<1}
), dann ist die Folge
(
a
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
bis zum Folgenglied
a
j
{\displaystyle a_{j}}
monoton wachsend, anschließend monoton fallend. Beispielsweise sind die Folgen der Stirling-Zahlen erster und zweiter Art
[
n
k
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right]}
bzw.
{
n
k
}
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right\}}
für festes
n
{\displaystyle n}
und
k
=
0
,
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}
log-konkav und damit unimodal. Auch die Binomialkoeffizienten bilden eine log-konkave Folge.
Zahlreiche in der Mathematik vorkommende Folgen sind log-konkav und damit unimodal. Ein Beispiel aus der Geometrie sind die Alexandrov-Fenchel-Ungleichungen , denen zufolge die gemischten Volumina konvexer Körper eine log-konkave Folge bilden.