Meixner-Polynome

Die Meixner-Polynome sind diskrete orthogonale Polynome. Sie sind nach dem deutschen Physiker Josef Meixner benannt. Sie sind gerade orthogonal bezüglich der negativen Binomialverteilung.

Meixner-Polynome

Notation:

Für $n>0$ definiere das Pochhammer-Symbol

$(a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1),$

und definiere die Gaußsche hypergeometrische Funktion

${}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a_{1},a_{2}\\b\end{matrix}}{\bigg \vert }c\right):=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}}{(b)_{n}}}{\frac {c^{n}}{n!}}.$

Definition

Die Meixner-Polynome $M_{n}(x;\beta ,c)$ sind definiert als

$M_{n}(x;\beta ,c)={}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}-n,-x\\\beta \end{matrix}}{\bigg \vert }1-{\frac {1}{c}}\right).$

Für $\beta >0$ und $0<c<1$ sind sie orthogonal auf $\mathbb {N} _{0}$ bezüglich der Gewichtsfunktion

$w(x;\beta ,c)={\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x},\qquad x=0,1,2,\dots ,$

das heißt

$\sum \limits _{x=0}^{\infty }M_{n}(x;\beta ,c)M_{m}(x;\beta ,c){\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x}={\frac {n!(1-c)^{-\beta }}{c^{n}(\beta )_{n}}}\delta _{mn}$

Eigenschaften

Drei-Term-Rekursion

Die Meixner-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion

$-xM_{n}(x;\beta ,c)={\frac {c(\beta +n)}{1-c}}M_{n+1}(x;\beta ,c)-{\frac {n+c(\beta +n)}{1-c}}M_{n}(x;\beta ,c)+{\frac {n}{1-c}}M_{n-1}(x;\beta ,c).$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion ist

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{n}}{n!}}M_{n}(x;\beta ,c)t^{n}=(1-t/c)^{x}(1-t)^{-x-\beta }.$

Grenzwertverhalten

Beziehung zu den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen

Es gilt

$\lim \limits _{c\to 1^{-}}M_{n}(x/(1-c);\alpha +1,c)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}L_{n}^{(\alpha )}(x).$

wobei $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.

Beziehung zu den Charlier-Polynomen

Es gilt

$\lim \limits _{\beta \to \infty }M_{n}(x;\beta ,a/(\beta +a))=C_{n}(x;a),$

wobei

$C_{n}(x;a):={}_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{a}}\right)$

Charlier-Polynome genannt werden.

Literatur

• Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.