Positive Matrix
In der Mathematik kommen positive Matrizen und nichtnegative Matrizen insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie, beispielsweise zur Beschreibung von Markow-Ketten, und in der Graphentheorie vor.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Matrix heißt nichtnegativ, wenn alle ihre Einträge nichtnegativ sind:
Sie heißt positiv, wenn alle ihre Einträge positiv sind:
Anwendungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die Übergangsmatrix einer Markow-Kette ist eine nichtnegative Matrix.
- Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist eine nichtnegative Matrix.
Eigenwerte
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus dem Satz von Perron-Frobenius folgt, dass eine positive Matrix einen positiven Eigenwert haben muss. Anders als bei total positiven Matrizen müssen aber nicht alle Eigenwerte positiv sein.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jede total positive Matrix ist positiv, eine positive Matrix muss aber nicht total positiv sein. Zum Beispiel ist die Matrix
positiv, aber nicht total positiv: die Determinante ist negativ, die Eigenwerte sind . Dasselbe Beispiel zeigt, dass eine positive Matrix nicht positiv definit sein muss. Umgekehrt muss eine positiv definite Matrix nicht positiv sein, wie das Beispiel
mit den Eigenwerten und zeigt.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Meyer, Carl: Matrix analysis and applied linear algebra. With 1 CD-ROM (Windows, Macintosh and UNIX) and a solutions manual. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000. ISBN 0-89871-454-0 pdf (Kapitel 8.2)