Schlichtes Gebiet

Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

Definition

Seien $g,h\in C([a,b])$ stetige Funktionen mit $g\leq h$. Dann heißt

$G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a\leq x\leq b,\;g(x)\leq y\leq h(x)\rbrace$

(mit reellen Zahlen $a<b$) ein Normalbereich bezüglich der $x$-Achse. Analog gilt das im $\mathbb {R} ^{n}$, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Motivation

Das Integrieren einer stetigen Funktion $f\colon G\to \mathbb {R}$ über einem Normalgebiet $G$ lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:

$\int _{G}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{a}^{b}\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x$

Fläche

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes $G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace$ errechnet sich durch folgendes Integral:

$\int _{a}^{b}(h(x)-g(x))\,\mathrm {d} x$.

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4