Poisson-Algebra

Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Poisson-Algebra

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra $A$ ist eine kommutative, assoziative $R$-Algebra $(A,\cdot )$ mit einer $R$-bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

$\{-,-\}:A\times A\to A$,

genannt Poisson-Klammer, so dass

• $(A,\{-,-\})$ eine Lie-Algebra über $R$ ist,
• die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt

$\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}$.

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer $\{-,-\}$ stehen dabei für einen Platzhalter.

Erläuterungen

Der $R$-Modul $A$ ist mit zwei $R$-bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation $\cdot \colon A\times A\to A$ und der Poisson-Klammer $\{-,-\}\colon A\times A\to A$.

Für die Multiplikation $\cdot$ und $f,g,h\in A$ gilt

Kommutativität: $f\cdot g=g\cdot f$

Assoziativität: $f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h$

Für die Poisson-Klammer $\{-,-\}$ und $f,g,h\in A$ gilt

Antisymmetrie: $\{f,g\}=-\{g,f\}$ und $\{f,f\}=0$

Leibnizregel: $\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}$

Jacobi-Identität: $\{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}$

Für ein $f\in A$ ist die Poisson-Klammer $D_{f}(-):=\{f,-\}$ eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

$D_{f}(g\cdot h)=\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}=D_{f}(g)\cdot h+g\cdot D_{f}(h).$

Poisson-*-Algebra

Falls $A$ eine Poisson-Algebra über $\mathbb {C}$ ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für $\{-,-\}$ folgendes

${\overline {\{f,g\}}}=\{{\overline {f}},{\overline {g}}\}$

erfüllt, so nennt man $A$ eine Poisson-*-Algebra.

Beispiele

• Sei $M$ eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer $\{-,-\}$ auf dem Raum der glatten Funktionen $C^{\infty }(M)$, dann ist das Paar $(C^{\infty }(M),\{-,-\})$ eine Poisson-Algebra.

Literatur

• Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6. 
• Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8. 

Weblinks

• Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics