Polyzylinder

In der mehrdimensionalen Funktionentheorie ist der Polyzylinder oder Polykreis das kartesische Produkt von Kreisscheiben.

Bezeichnet man genauer mit $\Delta (z,r)=\{w\in \mathbb {C} \mid |z-w|<r\}$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Ebene, dann ist der Polyzylinder um den Punkt $z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ mit dem Multiradius $r=(r_{1},\dots ,r_{n})$ gegeben als

$\Delta (z_{1},\ldots ,z_{n};r_{1},\ldots ,r_{n}):=\Delta (z_{1},r_{1})\times \dots \times \Delta (z_{n},r_{n})$

oder äquivalent als

$\{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|<r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.$

Der abgeschlossene Polyzylinder wird dadurch definiert, dass man das $<$-Zeichen durch $\leq$ ersetzt:

${\overline {\Delta }}(z_{1},\ldots ,z_{n};r_{1},\ldots ,r_{n}):=\{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|\leq r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.$

Der Polyzylinder ist ebenso wie die euklidische Kugel $\{w\in \mathbb {C} ^{n}\mid \sum _{j=1}^{n}|w_{j}-z_{j}|^{2}<r^{2}\}$ eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kreisscheibe. Für $n>1$ sind diese beiden Mengen aber nicht biholomorph äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass die Automorphismengruppen der beiden Mengen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimension haben.

Literatur

• Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
• Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969