Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2020/Oktober

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Nullstelle

Schon der zweite Satz des Artikels ist falsch: „Bei reellen Funktionen sind das genau die Stellen der $x$-Achse, an denen der Graph einer Funktion $f$ die $x$-Achse berührt oder schneidet.“ Offenbar kennen die Autoren keine anderen Funktionen als reelle Polynome, und ob sie ahnen, dass auch der reelle Logarithmus eine Nullstelle hat und die Thomaesche Funktion sogar viele, aber keinen Graphen, der dort eine Achse schneidet, verraten sie nicht. Deswegen handelt der Rest des Artikels auch ausschließlich von Polynomen. Man kann mal durchsehen, ob wenigstens für diese irgendwas im Artikel steht, was nicht auch in Ganzrationale Funktion steht. Falls ja, könnte man es dorthin übernehmen.

Dann bliebe aber fast nichts übrig. Man würde also eine richtige Definition des Begriffs abliefern, der an der Schulmathematik anknüpft, aber auf beliebige Wertebereiche verallgemeinert, soweit sie einen vernünftigen Begriff Null enthalten, natürlich primär Ringe, vor allem die gängigen Zahlenmengen. Es gibt ja wohl auch Bereiche der Mathematik, wo der Begriff Nullstelle unüblich ist, oder würde man die Elemente des Kerns einer linearen Funktion zwischen Vektorräumen als Nullstellen bezeichnen? Offenbar verbindet sich mit dem Wort eine bestimmte Vorstellung. Und der Rest wären dann Verweise auf die Artikel, in denen Nullstellen eine besonders wichtige Rolle spielen:

• Polynome in den beiden Ausprägungen: Ganzrationale Funktion (Schul-Analysis) und Polynom (Hochschul-Algebra)
• Numerische Nullstellensuche, die ja keine Polynome voraussetzt, aber meistens wenigstens stetige Funktionen
• Zwischenwertsätze, die man dazu braucht
• vielleicht noch anderes.

--Lantani (Diskussion) 22:49, 21. Okt. 2020 (CEST)

Ich verstehe nicht so, was du genau vorschlägst bzgl. des Artikels. Der Sinn der vorgeschlagenen (?) Auslagerungen in andere Artikel erschließt sich mir nicht so ganz.

Was den Logarithmus betrifft (und den zweiten Satz betrifft), der ist durch die falsche Definition abgedeckt, da er die x-Achse schneidet. Gegen eine anschauliche Beschreibung eine häufigen Falles in der Einleitung lässt sich eigentlich nichts einwenden, aber natürlich sollte due Formulierung mathematisch korrekt sein. Wenn ich das richtig sehen könnte man reelle Funktion einfach durch glatte bzw. unendlich oft stetig differenzierbare reelle Funktion ersetzen.

Ansonsten ist meiner Erfahrung der Begriff Nullstelle meist (oder immer?) mit dem Begriff der Funktion verbunden, wobei eine Funktion hier als eine Abbildung in die komplexen oder reellen Zahlen (oder ihrer Teilmengen) zu verstehen ist. In dem von dir angesprochenen Fall mit dem Kern, spricht dementsprechend meist von (linearen) Abbildungen und nicht von Funktionen. Allerdings wird diese Unterscheidung von Abbildung und Funktion nicht von jedem Autor verwandt, manche verwenden sie auch synonym.--Kmhkmh (Diskussion) 01:18, 22. Okt. 2020 (CEST)

Ich finde, Definition und Inhalt des Artikels sind OK. Den Ausdruck Verbaldefinition sollte man aber durch Definition ersetzen. Man sollte mit einem einfachen Beispiel zeigen, dass der Begriff Nullstelle nicht an glatt oder Polynom gebunden ist. Letztere spielen für die meisten Interessenten (Schüler, Studenten) eine wichtige Rolle und werden auch im Artikel behandelt. Nullstelle hat auch zunächst nichts mit den geometrischen Begriffen Berühren und Schneiden zu tun. Erst, wenn man Nullstellen von differenzierbaren Funktionen und deren Graphen behandelt. Was ich vermisse (oder übersehen habe): Ein Hinweis auf Nullstellen von Funktionen mehrerer Variablen (Nullstellenmengen). Z.B. $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-c=0$. --Ag2gaeh (Diskussion) 10:50, 22. Okt. 2020 (CEST)

Ich nenne noch einmal den Hauptkritikpunkt: Man kann nicht einen Artikel Nullstelle nennen und dann ausschließlich die Nullstellen reeller Polynome behandeln. Vielmehr müsste man den Begriff Nullstelle unabhängig von diesem Spezialfall behandeln, selbst wenn dieser für Gymnasiasten der praxisnächste ist. Und genau dieser Spezialfall gehört nicht detailliert hierher, sondern in den Artikel über reelle Polynome, und dort steht schon das meiste Wissenswerte – Ergänzungen sind selbstverständlich möglich. Unter das Lemma Nullstelle gehört nur, was alle Nullstellen aller Funktionen betrifft sowie Verweise auf besonders wichtige Spezialfälle wie beispielsweise Polynome. Und die größere Allgemeinheit muss nicht zu Unverständlichkeit führen, auch wenn ich die Gefahr sehe; mir liegt aber hohe Allgemeinverständlichkeit am Herzen wie offenbar schon den bisherigen Autoren.

Nicht bei jeder Funktion, die an manchen Stellen einen Wert Null annimmt (so er im Wertebereich definiert ist), spricht man von Nullstellen, sondern vor allem

• wenn die Funktion durch einen geschlossenen Ausdruck definiert ist, dessen Form wenigstens manchmal auf Anzahl und Lage der Nullstellen schließen lässt oder
• wenn die Funktion reell- oder komplexwertig und mindestens stetig, noch besser auch differenzierbar ist.

Reelle Polynome oder trigonometrische Funktionen haben beide Eigenschaften, diskretere Polynome (z.B. in ganzen oder rationalen Zahlen oder in endlichen Ringen) wenigstens die erste, und die Regula falsi braucht wenigstens die zweite. Von letzterem Artikel wird auf Nullstelle verwiesen, ohne dass dort irgendetwas stünde, der aus der Sicht des Lemmas Regula falsi von Interesse wäre.

Also: Nix falsch, aber alles irgendwie nicht dafür gut, einen Überblick zu bekommen, was es mit Nullstellen auf sich hat. --Lantani (Diskussion) 18:52, 24. Okt. 2020 (CEST)

Also zunächst einmal schließt die Definition ja andere Funktionen mit ein und der ganze Abaschnitt Nulstellen reellwertiger Funktionen ist nicht auf Polynome beschränkt. Dass der Artikel insgesamt etwas polynomlastig ist, mag ja sein, hat aber aber auch seine Berechtigung, denn wichtigen Spezialfallen kann man eigene Abschnitte gönnen. Darüber hinaus spricht ja nichts dagegen weitere Spezialfälle oder Funktionstypen gegebenenfalls in weiteren abschnitten zu behandeln. Sicherlich wünschenswert wäre auch eine Ergänzung bzw. ein eigener Abschnitt zu Nullstellen im Komplexen. Aber all das würde ich nicht unbedingt als ein QS-Problem ansehen, sondern eher im Bereich der normalen Artikelarbeit ansiedeln (jeder Artikel in WP ist in gewisser Weise ja ein Prozess und kein abgeschlossenes Werk).--Kmhkmh (Diskussion) 15:19, 25. Okt. 2020 (CET)

Ich habe mal versucht, die Einleitung etwas allgemeiner zu halten. Wäre nett, wenn jemand darauf aufbauen und den Rest - insbesondere wegen Doppelungen - anpassen würde. Gruß von ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:02, 25. Okt. 2020 (CET)

P.S.: Auch ein Nullwert einer stetigen, aber an dieser Stelle nicht differenzierbaren Funktion ("Knick") ist eine Nullstelle. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:04, 25. Okt. 2020 (CET)

Ich stimme Kmhkmh zu: das das kann hier raus. Ich halte die Probleme zwar nur zum Teil für behoben, aber kein Thema mehr für QS. Ich hatte es hier eingestellt, weil es gerade im Grenzbereich zwischen Schul- und Hochschulmathematik so viele ähnliche und überschneidende Artikel gibt, dass eine Änderung an einem von ihnen oder ein Diskussionsbeitrag zu einem von ihnen ein sehr zufällige Leserschaft erreicht: wer hätte eine Chance gehabt, eine Änderung am Artikel Nullstelle auch nur zu bemerken? --Lantani (Diskussion) 11:48, 25. Nov. 2020 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Lantani (Diskussion) 11:48, 25. Nov. 2020 (CET)