Koszul-Vinberg-Algebra

Eine Koszul-Vinberg-Algebra (auch Prä-Lie-Algebra) ist eine algebraische Struktur über einem Modul, genauer ist es eine Algebra $M$, deren Multiplikation links- oder rechtssymmetrisch ist, dies ist gleichbedeutend zur Aussage, dass für den Assoziator die Identität

$A(x,y,z)=A(y,x,z)\quad$ oder $\quad A(x,y,z)=A(x,z,y)$

gilt. Zur Unterscheidung spricht man von der linken und rechten Koszul-Vinberg-Algebra.

Die Koszul-Vinberg-Algebra ist nach Jean-Louis Koszul und Ernest Borissowitsch Winberg benannt. Weitere geläufige Namen sind links- respektive rechtssymmetrische Algebra (kurz LSA und RSA), quasi-assoziative Algebra, Vinberg-Algebra und Koszul-Algebra.

Der Name Prä-Lie-Algebra kommt daher, dass eine KV-Algebra mit dem Kommutator $[x,y]=x\cdot y-y\cdot x$ eine Lie-Algebra respektive Lie-Zulässige-Algebra ist, siehe unten. Bei einer allgemeinen (nicht-assoziativen) Algebra ist dies nicht unbedingt der Fall.

Definition

Sei $K$ ein kommutativer Ring mit Eins und $(M,\cdot )$ eine $K$-Algebra, das heißt ein $R$-Modul mit einer $K$-bilinearen Abbildung $(x,y)\mapsto x\cdot y$.

Der Assoziator ist definiert als

$A(x,y,z):=(x\cdot y)\cdot z-x\cdot (y\cdot z).$

Man nennt $(M,\cdot )$ eine linke Koszul-Vinberg-Algebra, wenn

$A(x,y,z)=A(y,x,z)$

für alle $x,y,z\in M$ gilt.

Man nennt $(M,\cdot )$ eine rechte Koszul-Vinberg-Algebra, wenn

$A(x,y,z)=A(x,z,y)$

für alle $x,y,z\in M$ gilt.

Erläuterungen

Ausgeschrieben gilt somit bei der linken KV-Algebra

$(x\cdot y)\cdot z-x\cdot (y\cdot z)=(y\cdot x)\cdot z-y\cdot (x\cdot z)$

und bei der rechten KV-Algebra

$(x\cdot y)\cdot z-x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot z)\cdot y-x\cdot (z\cdot y)$

für alle $x,y,z\in M$.

Zusammenhang zur Lie-Algebra

Der Kommutator $[x,y]=x\cdot y-y\cdot x$ einer Koszul-Vinberg-Algebra $(M,\cdot )$ ist eine Lie-Klammer, denn es gilt die Jacobi-Identität

$[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=A(x,y,z)+A(y,z,x)+A(z,x,y)-A(y,x,z)-A(x,z,y)-A(z,y,x)=0$

für alle $x,y,z\in M$.

Literatur

• Pierre Cartier und Frédéric Patras: Classical Hopf Algebras and Their Applications. Hrsg.: Springer International Publishing. Schweiz 2021. 
• Azimbay Sadullaev, Norman Levenberg, Utkir Rozikov, Zair Ibragimov: Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench, Uzbekistan. Hrsg.: Springer International Publishing. 2018.