Primzahlpotenz

Primzahlpotenzen (kurz Primpotenzen) sind natürliche Zahlen, die eine Potenz einer Primzahl $p$ sind, z. B. $625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{4}$.

Primzahlpotenzen treten bei endlichen Körpern auf. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz.

Beispiele und Werte

• $169=13^{2}$
• $2401=7^{4}$
• $1024=2^{10}$

Die ersten Primzahlpotenzen sind:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101 …

Lässt man die einfachen Primzahlen, also die Primpotenzen mit 1 als Exponent, aus, erhält man:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, 289, 343, 361, 512, 529, 625, 729, 841, 961, 1024, 1331 …

Modul

• $p\geq 5,p^{2}\equiv 1\mod {\{2,3,4,6,8,12,24\}}$
• $p\geq 7,p^{4}\equiv 1\mod {\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80\}}$

...

• $p\geq 23,p^{7920}\equiv 1\mod {\{2-28,30,...\}}$

...

Verallgemeinerung

In beliebigen kommutativen Ringen mit $1$ werden Primzahlpotenzen durch primäre Ideale und irreduzible Ideale verallgemeinert. In Dedekindringen sind Ideale genau dann primär bzw. irreduzibel, wenn sie von einer Potenz eines Primelementes erzeugt werden.

Sonstiges

Im Film Cube (1997) markieren Primzahlpotenzen diejenigen Räume einer kubischen Labyrinthstruktur, die tödliche Fallen enthalten.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Prime Power. In: MathWorld (englisch).