Dieser Artikel behandelt die Multiplikation zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Skalar ist. Für die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren, deren Ergebnis ein Vektor ist, siehe Skalarmultiplikation.
Dabei bezeichnen und jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels (Phi) bezeichnet.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.
Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so ergibt sich mit dieser Formel zunächst das Skalarprodukt und man erhält mit der bereits genannten Formel
den Winkel :
und schließlich
.
In der linearen Algebra wird dieses Konzept für beliebig viele Dimensionen zu
verallgemeinert.
Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.
Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:
Bezeichnen und die Längen der Vektoren und und bezeichnet den von und eingeschlossenen Winkel, so ist
Hierbei muss vorausgesetzt werden, da ansonsten nicht erklärt ist. Ist oder , so ergibt sich .
Wie bei der normalen Multiplikation wird (wenn klar ist, was gemeint ist) das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen:
.
Statt schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch vereinfacht oder
Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.
In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren
Als Funktion, die jedem geordneten Paar von Vektoren die reelle Zahl zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:
Es ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):
für alle Vektoren und und alle Skalare .
Es ist additiv in jedem Argument (Distributivgesetz):
und
für alle Vektoren und
Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.
Die Bezeichnung „gemischtes Assoziativgesetz“ für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz verschoben werden können.
Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors Hingegen stellt der Ausdruck ein Vielfaches von dar. Im Allgemeinen gilt also
Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.
Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man die Länge (den Betrag) eines Vektors und den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel aus den Koordinaten der Vektoren berechnen:
Für einen Vektor des zweidimensionalen Raumes gilt
Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder.
Im dreidimensionalen Raum gilt für entsprechend
Zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zwischen zwei Vektoren stellt man die Definitionsgleichung nach um:
Die einzelnen Bestandteile und kann man mit den entsprechenden Formeln für die kartesischen Koordinaten berechnen. Um den Winkel zu erhalten, muss man noch den Arkuskosinus auf das Ergebnis der Rechnung anwenden:
Zwei Vektoren und sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also
Die orthogonale Projektion von auf die durch den Vektor gegebene Richtung ist der Vektor
Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von auf die durch bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor steht senkrecht auf
Ist ein Einheitsvektor (d. h., ist ), so vereinfacht sich die Formel zu
Eine andere Art und Weise, zwei Vektoren und im dreidimensionalen Raum multiplikativ miteinander zu verknüpfen, ist das äußere Produkt oder Kreuzprodukt Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Resultat des Kreuzprodukts kein Skalar, sondern wieder ein Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Vektoren und aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen aufgespannt wird.
Für die Verbindung von Kreuz- und Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:[3]
Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Gerade in der Ebene, eine Ebene im dreidimensionalen Raum oder allgemein eine Hyperebene in der Normalenform – also mit Hilfe eines Normalenvektors – darstellen:
, mit Stützvektor und Normalenvektor .
Eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung erfüllen.
Im Gegensatz zur Punktrichtungsform handelt es sich hierbei um eine Gleichung ohne Parameter.
In der Physik sind viele Größen durch das Skalarprodukt definiert, wie zum Beispiel die Arbeit:
mit den vektoriellen Größen Kraft und Weg. Dabei bezeichnet den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.
Beispiel: Ein Wagen des Gewichts wird über eine schiefe Ebene von nach transportiert. Die Hubarbeit berechnet sich zu
Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexeVektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).
In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren und schreibt man also . Andere gebräuchliche Notationen sind (vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation), und .
Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform das heißt, für und gelten die folgenden Bedingungen:
Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im benutzt.
Anmerkungen
Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
Die beiden angegebenen Axiomensysteme sind nicht minimal. Im reellen Fall folgt aufgrund der Symmetrie die Linearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt). Analog dazu folgt im komplexen Fall aufgrund der Hermitezität die Semilinearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt).
Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt manchmal alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der Analysis auf, während in der Physik überwiegend die obige Version benutzt wird (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der Skalarmultiplikation hinsichtlich der Homogenität. Nach der Alternativversion gilt für und und . Die Additivität wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen Normen identisch.[4]
Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, wird als Hilbertraum bezeichnet.
Die Unterscheidung zwischen reellem und komplexem Vektorraum bei der Definition des Skalarprodukts ist nicht zwingend notwendig, da eine hermitesche Sesquilinearform im Reellen einer symmetrischen Bilinearform entspricht.
Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im -dimensionalen Koordinatenraum für durch
Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall Im Fall des -dimensionalen komplexen Vektorraums definiert man das Standardskalarprodukt für durch
wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.
Das Standardskalarprodukt im bzw. lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als -Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt
wobei der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)
ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix über
ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index auf der linken Seite das durch die Matrix definierte Skalarprodukt.
Jedes Skalarprodukt auf bzw. lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.
Auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall ist das -Skalarprodukt durch
für alle , definiert. Die Voraussetzung der Stetigkeit kann dabei abgeschwächt werden (siehe Lp-Raum), denn bspw. ist das L2-Skalarprodukt auch für Treppenfunktionen wohldefiniert.
Des Weiteren lässt sich auch ein Skalarprodukt (-Skalarprodukt) definieren bei dem zusätzlich Ableitungsterme hinzukommen:
für alle . Auch hier kann die Voraussetzung der Differenzierbarkeit abgeschwächt werden (siehe Sobolev-Raum).
Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:
umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels
der Winkel zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.[5]
Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:
Ist ein -dimensionaler Vektorraum und eine Basis von so kann jedes Skalarprodukt auf durch eine ()-Matrix die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:
mit für
Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen:
Haben die Vektoren bezüglich der Basis die Darstellung
im komplexen Fall.
Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von und also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren und bzw.
↑Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-2005-2, S.189.
↑Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, 2001, S. 191.