Punktweise Konvergenz

Die punktweise Konvergenz ist in der Analysis ein Konvergenzbegriff für Funktionenfolgen. Eine Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f,$ wenn für alle Stellen ("Punkte") $x$ aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Folge $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(x)$ konvergiert.

Definition

Gegeben sei eine Funktionenfolge $f_{n}\colon D\to \mathbb {R}$, $n\in \mathbb {N}$. Die Funktionenfolge heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$, wenn für alle $x\in D$ gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$.

Man schreibt dann

$\lim _{n\to \infty }f_{n}=f{\text{ punktweise}}$

oder

$f_{n}{\xrightarrow {\text{pktw.}}}f\ (n\to \infty )$.

Formal konvergiert $f_{n}$ also genau dann punktweise gegen $f$, wenn

$\forall x\in D\ \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N\colon \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$,

das heißt, es muss für jedes $x$ und für jedes $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N$ geben, so dass für alle $n\geq N$ gilt: $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$.

Beispiel

Zum Beispiel konvergiert die Folge $f_{n}$ mit

$f_{n}\colon x\mapsto x^{n}$

im Intervall $[0,1]$ punktweise gegen die Funktion $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}0,&0\leq x<1,\\1,&x=1\end{cases}}$

denn offenbar gilt

$\lim _{n\to \infty }x^{n}=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in [0,1){\text{ und }}\lim _{n\to \infty }1^{n}=1.$

Abgrenzung

Es ist allerdings zu beachten, dass punktweise Konvergenz nicht gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz ist, da z. B. das oben genannte Beispiel zwar punktweise, keineswegs aber gleichmäßig konvergiert (so ist jedes Glied der Folge überall stetig differenzierbar, die Grenzfunktion allerdings nicht einmal stetig): Gleichmäßige Konvergenz ist eine wesentlich stärkere Aussage.

Eine Abschwächung der punktweisen Konvergenz ist die punktweise Konvergenz μ-fast überall.

Für punktweise Konvergenz müssen die Werte der Funktionen $f_{n}$ nicht unbedingt reelle Zahlen sein, sie können Elemente irgendeines topologischen Raumes sein.

Siehe auch

• Gleichmäßige Konvergenz

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4