Ramanujansche Phi-Funktion

Phi-Funktion mit $n\to \infty$

Die Ramanujan-Phifunktion $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ ist nach Srinivasa Ramanujan durch

$\varphi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^{n}{1 \over (ak)^{3}-ak}$

mit $a\in \mathbb {R}$, $a,k\neq 0$, $ak\neq \pm 1$ und $n\geq 1$ definiert.

Für die Reihe ergibt sich explizit:

$\varphi (a,n)=1+2{1 \over a^{3}-a}+2{1 \over 8a^{3}-2a}+2{1 \over 27a^{3}-3a}+\ldots +2{1 \over (an)^{3}-a\cdot n}$

Darstellung durch die harmonische Funktion

Sei die harmonische Funktion mithilfe der Funktion $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}=\gamma +\psi _{0}(n+1),n\geq 1$ definiert. Infolge kann die Ramanujan-Phifunktion dargestellt werden durch:

$\varphi (a,n)=1-{1 \over a}(H_{-1/a}+H_{1/a}+2H_{n}-H_{n-1/a}-H_{n+1/a})$

Grenzwert

Sei $\varphi (a)$ der Grenzwert der Ramanujan-Phifunktion für $n\to \infty$. Vereinfacht gilt:

$\varphi (a)=\lim _{n\to \infty }\varphi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over (ak)^{3}-ak}=-{1 \over a}\left(\psi _{0}\left({1 \over a}\right)+\psi _{0}\left(1-{1 \over a}\right)+2\gamma \right)=1-{1 \over a}(H_{1/a}+H_{1/a})$.

Dabei ist $\psi _{0}$ die Digamma-Funktion und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Werte für die Ramanujan-Phifunktion

Funktionswerte der Ramanujan-Phifunktion für $1<A\leq 6$:

a	$\varphi (a)$
2	$2\ln(2)$
3	$\ln(3)$
4	${3 \over 2}\ln(2)$
5	${1 \over 5}{\sqrt {5}}\ln(\phi )+{1 \over 2}\ln(5)$
6	${1 \over 2}\ln(3)+{2 \over 3}\ln(2)$

Dabei ist $\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$ der Goldene Schnitt.