Satz von Fernique

Der Satz von Fernique ist ein Satz für gaußsche Maße in Banach-Räumen. Der Satz sagt, dass gaußsche Zufallsvariablen in Banach-Räumen exponentialfallende Ränder (tails) besitzen.

Der Satz wurde 1975 von dem französischen Mathematiker Xavier Fernique bewiesen.

Aussage

Sei $(E,\|\cdot \|)$ ein separabler Banach-Raum und $\mu$ ein beliebiges symmetrisches gaußsches Maß auf $E$.

Seien $\lambda >0$ und $r>0$, so dass

$\log \left({\frac {1-\mu ({\overline {B}}(0,r))}{\mu ({\overline {B}}(0,r))}}\right)+32\lambda r^{2}\leq -1.$

Dann gilt

$\int _{E}e^{\lambda \|x\|^{2}}\mu (\mathrm {d} x)\leq e^{16\lambda r^{2}}+{\frac {e^{2}}{e^{2}-1}}.$

Erläuterungen

Die Aussage sagt, dass $e^{\lambda \|x\|^{2}}$ bezüglich des gaußschen Maßes immer integrierbar ist.

Literatur

• Michel Ledoux: Isoperimetry and Gaussian analysis. In: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour. 1996, S. 40. 
• Giuseppe Da Prato und Jerzy Zabczyk: Stochastic equations in infinite dimension. Hrsg.: Cambridge University Press. 1992, S. 37.