Satz von Gliwenko-Cantelli

Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n=100

Der Satz von Gliwenko-Cantelli oder Satz von Gliwenko, auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt, englisch Central statistical theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf zwei Arbeiten der beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus dem Satz geht hervor, dass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Möglichkeit der Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum

$(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$

und darauf eine Folge

$X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \quad (n\in \mathbb {N} )$

von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

Die zum Stichprobenumfang $n\in \mathbb {N}$ gehörige empirische Verteilungsfunktion ist

$F_{n}\colon {\mathbb {R} \times \Omega }\to [0,1]$

mit

$F_{n}(x,\omega )={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\chi _{(-\infty ,x]}(X_{k}(\omega ))}\quad (x\in \mathbb {R} ,\omega \in \Omega )$.

Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable

$D_{n}\colon \Omega \to \mathbb {R}$

mit

$D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\bigl |}F_{n}(x,\omega )-F(x){\bigr |}$,

welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung $F$ unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen $x\in \mathbb {R}$ angibt.

Dann gilt:

Die Folge $(D_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null.

Es gilt also

$\operatorname {P} {\bigl (}\lim _{n\to \infty }D_{n}=0{\bigr )}=1$.

Anmerkungen

1. Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen.
2. Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.

Quellen und Hintergrundliteratur

Originalarbeiten

• F. P. Cantelli: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 421–424. 
• V. Glivenko: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 92–99. 
• Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Band 14, 1970, S. 239–250, doi:10.1007/BF01111419 (MR0292143). 

Monographien

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• Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6.  MR1796326
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 10. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980. 
• P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5. MR0501219
• Boris Wladimirowitsch Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8. 
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• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2. 
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• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3. 
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• Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Studia Mathematica. Band XXII). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970.  MR0286145