Knotenkomplement

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist das Knotenkomplement der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.

Definition

Kleeblattschlinge

Es sei $K\subset S^{3}$ ein Knoten. (Der Fall von Knoten im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich auf den ersten Fall zurückführen, indem man die Einpunktkompaktifizierung $(\mathbb {R} ^{3})^{*}=S^{3}$ betrachtet.) Das Komplement des Knotens $K$ ist dann die offene Mannigfaltigkeit $S^{3}\setminus K$.

Häufig betrachtet man statt der offenen Mannigfaltigkeit $S^{3}\setminus K$ auch die wie folgt konstruierte Mannigfaltigkeit mit Rand. Sei $N(K)$ eine Tubenumgebung von $K$, also homöomorph zum Volltorus. Dann ist

$X_{K}=S^{3}\setminus int(N(K))$

eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, deren Rand ein Torus ist.

Analog kann man das Komplement von Verschlingungen definieren.

Invarianten

Die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist die Knotengruppe, sie kann mit dem Wirtinger-Algorithmus präsentiert werden. Für Primknoten wird das Knotenkomplement durch die Knotengruppe eindeutig bestimmt.

Die Homologiegruppen des Knotenkomplements hängen nicht vom Knoten ab, es gilt

$H_{0}(X_{K})=\mathbb {Z} ,\;H_{1}(X_{K})=\mathbb {Z} ,\;H_{2}(X_{K})=0,\;H_{3}(X_{K})=0$.

(Weil $X_{K}$ und $S^{3}\setminus K$ homotopieäquivalent sind, hängen diese Invarianten nicht davon ab, welche der beiden obigen Definitionen verwendet wird.)

Satz von Gordon-Luecke

Ein von Gordon und Luecke bewiesener Satz besagt, dass Knoten durch ihr Komplement eindeutig bestimmt sind: Wenn $S^{3}\setminus K_{1}$ homöomorph zu $S^{3}\setminus K_{2}$ ist, dann sind die Knoten $K_{1}$ und $K_{2}$ isotop. Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

Literatur

• Heinrich Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 1–118.
• C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 20 (1989), no. 1, 83–87.
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3-86025-338-7.