Satz von Hewitt

Der Satz von Hewitt, manchmal englisch Hewitt's Stone-Weierstrass theorem genannt, ist ein im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Teilgebieten Topologie und Funktionalanalysis gelegener Lehrsatz, der auf einer Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Edwin Hewitt aus dem Jahr 1947 beruht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, den er in einem gewissen Sinne umkehrt.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum $X\neq \emptyset \;$ und dazu die Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}:=C_{b}(X,\mathbb {R} )\;$ der beschränkten stetigen reellwertigen Funktionen $f\colon X\to \mathbb {R} \;$.

Weiter sei vorausgesetzt, dass eine jede $\mathbb {R}$-Unteralgebra ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {C}}\;$, welche

1. die konstante Funktion $1\;$ enthält

und

2. punktetrennend in Bezug auf die Raumpunkte $x\in X\;$ ist,

in ${\mathcal {C}}$ stets dicht liege.

Dann ist $X$ bereits ein kompakter Raum .

Erläuterungen

• Die Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}$ ist wie üblich mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ versehen.
• In ${\mathcal {C}}$ ist ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {C}}$ genau dann eine $\mathbb {R}$-Unteralgebra, wenn ${\mathcal {A}}$ ein $\mathbb {R}$-linearer Unterraum von ${\mathcal {C}}$ ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei $f_{1}\in {\mathcal {A}}$ und $f_{2}\in {\mathcal {A}}$ stets auch die durch punktweise Multiplikation entstehende Funktion $f_{1}f_{2}\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto f_{1}(x)f_{2}(x)\;,\;$ in ${\mathcal {A}}$ liegt.
• Unter der konstanten Funktion $1$ versteht man $1\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto 1\;$.
• Dicht-liegen und das damit verknüpfte Konzept der topologischen Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}$ ist im Sinne der vermöge der Supremumsnorm gegebenen Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.

Literatur

• Bernhard Banaschewski: On the Weierstrass-Stone approximation theorem. In: Fundamenta Mathematicae. Band 44, 1957, S. 249–252 (MR0092931). 
• Jörg Blatter: Hewitt's Stone-Weierstrass theorems for ordered topological spaces in: Functional Analysis (Proc. Brazilian Math. Soc. Sympos., Inst. Mat. Univ. Estad. Campinas, São Paulo, 1974) (= Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Band 18). Marcel Dekker, New York 1976, S. 9–25 (MR0644651). 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Edwin Hewitt: Certain generalizations of the Weierstrass approximation theorem. In: Duke Mathematical Journal. Band 14, 1947, S. 419–427 (MR0021662).