Satz von Nikomachos

Der Satz von Nikomachos besagt in der Zahlentheorie, dass das Quadrat der Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich der Summe deren Kubikzahlen ist, beispielsweise bei n=4 Zahlen:

(1+2+3+4)² = 10² = 100 = 1+8+27+64 = 1³+2³+3³+4³

Die Summe in der Klammer ist eine Dreieckszahl. Nikomachos selbst entdeckte, dass jede Kubikzahl n³ eine Summe von n aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist, und sich diese Zahlen bei wachsendem n direkt aneinander anschließen. Indem diese Summen addiert werden, ergibt sich der obige Satz.

Nikomachos’ Entdeckung

Nikomachos weist in seinem Buch Arithmetik II,20 auf eine von ihm gemachte Entdeckung hin:

„Denn wenn die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen von 1 beginnend bis ins Unendliche aufgestellt werden, beobachte dies: Die erste bildet den potentiellen Kubus; die nächsten beiden, summiert, (bilden) den zweiten; die nächsten drei den dritten; die vier danach folgenden den vierten; die sich anschließenden fünf den fünften; die nächsten sechs den sechsten und so fort.“

– Nikomachos von Gerasa

Nikomachos gibt also die ersten sechs Kubikzahlen als Beispiele

1	= 1	= 13
3+5	= 8	= 23
7+9+11	= 27	= 33
13+15+17+19	= 64	= 43
21+23+25+27+29	= 125	= 53
31+33+35+37+39+41	= 216	= 63
︙	︙	︙

für die Regel

${\begin{aligned}{\mathsf {(n^{2}-n+1)+(n^{2}-n+3)+\dots +(n^{2}+n-1)}}=\dots \\\dots ={\mathsf {\sum _{j=1}^{n}(n^{2}-n-1+2j)}}=&{\mathsf {n^{3}}}\end{aligned}}$

Die hier auftretenden Summen erstrecken sich über aufeinander im gleichen Abstand folgende Zahlen, deren Mittelwert die Hälfte der Summe der größten und der kleinsten summierten Zahl ist. Wenn n Zahlen mit bekanntem Mittelwert addiert werden, dann ist nach der Definition des Mittelwerts die Summe gleich dem n-fachen Mittelwert, siehe auch Gaußsche Summenformel.

Auf der linken Seite in obiger Regel steht die Summe der ungeraden Zahlen von (n²−n+1) bis (n²+n−1), deren Mittelwert n² ist und von denen n addiert werden. Somit ergibt ihre Summe die Kubikzahl n³ auf der rechten Seite.

Nach Addition der ersten n dieser Identitäten steht, wie aus der Tabelle abzuleiten ist, rechts die Summe der ersten n Kubikzahlen 1³ bis n³ und links die Summe der ersten (n²+n)/2 ungeraden Zahlen 1, 3, … bis (n²+n−1). Deren Mittelwert ist die Hälfte der Summe aus der kleinsten und der größten Zahl, also (n²+n)/2, und genauso viele Zahlen werden addiert, sodass die Summe dieser ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat [(n²+n)/2]² entspricht.

Der Mittelwert der ganzen Zahlen 1, 2, … bis n ist (n+1)/2 und in deren Summe werden n Zahlen addiert, sodass die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2=(n²+n)/2 ist.

Daher entspricht das Quadrat der Summe der ersten n Zahlen der Summe der ersten n Kubikzahlen.

Geometrischer Beweis

Die folgende Ableitung benutzt Quader der Dicke eins, sodass ihr Volumen zahlenmäßig gleich dem Inhalt ihrer Deckfläche ist. Betrachtet werden die einfarbigen Winkel der Breite n, die für n=1 (rot), n=2 (gelb), n=3 (grün), n=4 (blau) und n=5 (lila) im Bild dargestellt sind. Die Deckfläche eines solchen einfarbigen Winkels der Breite n besteht aus n Quadraten der Kantenlänge n, wobei bei geradem n ein Quader in zwei Hälften geteilt wird (gelb und blau). Die Deckfläche des Winkels ist also n·n²=n³, und die quadratischen Quader der Kantenlänge n und Dicke 1 können zu den Würfeln mit Volumen n³ am oberen Rand des Bildes aufgestapelt werden. Von einem Schritt zum nächsten nimmt die Breite des Winkels um eine Einheit zu, sodass sich der Winkel der Breite n in einen quadratischen Quader □ einpasst (bunte Fläche unter den Würfeln), dessen Kantenlänge die n-te Dreieckszahl

🛆_n := 1 + 2 + … + n

ist. Also ist das Volumen des Quaders □

• einerseits gleich (🛆_n)²=(1+2+…+n)²,
• andererseits gleich der Summe der Kuben 1³ bis n³.