σ-unitale C*-Algebra

Die $\sigma$-unitalen C*-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht, es handelt sich um C*-Algebren mit einer gewissen Abzählbarkeitsbedingung.

Definition

Eine C*-Algebra heißt $\sigma$-unital, falls sie eine abzählbare Approximation der Eins besitzt.

Beispiele

• Separable C*-Algebren sind $\sigma$-unital.
• C*-Algebren mit Einselement sind $\sigma$-unital, daher ist dieser Begriff nur bei C*-Algebren ohne Einselement sinnvoll.
• Die kommutative C*-Algebra $C_{0}(X)$ der C₀-Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum $X$ ist genau dann $\sigma$-unital, wenn $X$ σ-kompakt ist. Ist also $X$ überabzählbar und diskret, so ist $C_{0}(X)$ nicht $\sigma$-unital.

Eigenschaften

Folgende Aussagen über eine C*-Algebra $A$ sind äquivalent:

• $A$ ist $\sigma$-unital.
• $A$ hat ein strikt positives Element, das heißt, es gibt ein positives Element $a\in A$, so dass $f(a)>0$ für alle Zustände $f$ auf $A$.
• Es gibt ein positives Element $a\in A$, so dass $aA\subset A$ eine dichte Teilmenge ist.
• Es gibt ein positives Element $a\in A$, so dass das Einselement in der einhüllenden Von-Neumann-Algebra die kleinste Projektion $p$ mit $pa=a$ ist.