Spinor-Darstellung

Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe $Spin(2k)$ und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe $Spin(2k+1)$ dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.

Herleitung

Im Folgenden bezeichnen wir mit $\mathbb {C} l_{n}$ die Clifford-Algebra des $\mathbb {C}$-Vektorraums $\mathbb {C} ^{n}$ mit der quadratischen Form $q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+\ldots +z_{n}^{2}$.

Die Clifford-Algebra $\mathbb {C} l_{1}$ ist isomorph zu $\mathbb {C} \oplus \mathbb {C}$ und hat insbesondere zwei $1$-dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra $\mathbb {C} l_{2}$ wird per Definition erzeugt von $e_{1},e_{2}$ mit den Relationen $e_{1}^{2}=-1=e_{2}^{2}$ und $e_{1}e_{2}+e_{2}e_{1}=0$. Andererseits hat $Mat(2,\mathbb {C} )$ als $\mathbb {C}$-Vektorraum die Basis

$1=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right),\ g_{1}=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ g_{1}g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$

mit den Relationen $g_{1}^{2}=-1=g_{2}^{2}$ und $g_{1}g_{2}+g_{2}g_{1}=0$. Man hat also einen Isomorphismus

$\mathbb {C} l_{2}\cong Mat(2,\mathbb {C} )$

und insbesondere eine $2$-dimensionale Darstellung von $\mathbb {C} l_{2}$.

Durch

$e_{1}\to 1\otimes g_{1},\ e_{2}\to 1\otimes g_{2},\ e_{j}\to (ie_{j-2}\otimes g_{1}g_{2}){\mbox{ für }}3\leq j\leq n+2$

erhält man einen Isomorphismus

$\mathbb {C} l_{n+2}\to \mathbb {C} l_{n}\otimes M_{2}(\mathbb {C} )$.

Für eine gerade Zahl $n=2k$ folgt daraus durch vollständige Induktion

$\mathbb {C} l_{2k}\cong M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \ldots \otimes M_{2}(\mathbb {C} )\cong M_{2^{k}}(\mathbb {C} )$,

insbesondere erhält man eine Darstellung von $\mathbb {C} l_{2k}$ auf einem $2^{k}$-dimensionalen Vektorraum $\Delta _{n}$.

Für eine ungerade Zahl $n=2k+1$ erhält man durch vollständige Induktion

$\mathbb {C} l_{2k+1}\cong (\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} )\otimes M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \ldots \otimes M_{2}(\mathbb {C} )\cong (\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} )\otimes M_{2^{k}}(\mathbb {C} )\cong M_{2^{k}}(\mathbb {C} )\oplus M_{2^{k}}(\mathbb {C} )$,

insbesondere erhält man zwei Darstellungen von $\mathbb {C} l_{2k+1}$ auf $2^{k}$-dimensionalen Vektorräumen.

In jedem Fall hat man für $n=2k$ oder $n=2k+1$ einen komplexen Vektorraum

$\Delta _{n}\cong \mathbb {C} ^{2^{k}}$,

so dass

${\begin{array}{cc}\mathbb {C} l_{n}=End(\Delta _{n})&n=2k{\mbox{ gerade}}\\\mathbb {C} l_{n}=End(\Delta _{n})\oplus End(\Delta _{n})&n=2k+1{\mbox{ ungerade}}\end{array}}$.

Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe $Spin(n)$ ist die Einschränkung der Darstellung $\Delta _{n}$ auf $Spin(n)\subset \mathbb {C} l_{n}$.

Allgemeiner kann man für $n=p+q$ die zur quadratischen Form $q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+\ldots +z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\ldots -z_{p+q}^{2}$ auf dem $\mathbb {R} ^{p+q}$ assoziierte Spin-Gruppe $Spin(p,q)$ betrachten. Diese ist ebenfalls in $\mathbb {C} l_{n}$ enthalten und somit sind $\Delta _{n}$ bzw. $\Delta _{n}^{\pm }$ Darstellungen von $Spin(p,q)$. In der Physik werden die Elemente von $\Delta _{n}$ als Dirac-Spinoren bezeichnet.

Eigenschaften

• Die Spinor-Darstellungen für ungerade n und die Halbspinor-Darstellungen für gerade nicht durch 4 teilbare n sind treue Darstellungen.
• Für alle $g\in Spin(n)$ hat das Bild in $GL(\Delta _{n})$ bzw. $GL(\Delta _{n}^{\pm })$ die Determinante $1$.
• Auf $\Delta _{n}$ bzw. $\Delta _{n}^{\pm }$ gibt es ein $Spin(n)$-invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in $SU(\Delta _{n})$ bzw. $SU(\Delta _{n}^{\pm })$.

Halbspinor-Darstellungen

Für $n=2k+1$ ungerade ist die Spinor-Darstellung $\Delta _{n}$ eine irreduzible Darstellung von $Spin(n)$. Dagegen ist für $n=2k$ gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe $\Delta _{2k}^{+}\oplus \Delta _{2k}^{-}$ zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.

Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von $e_{1}\ldots e_{2k}$ zu den Eigenwerten $(-i)^{k}$ und $-(-i)^{k}$. In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.

Literatur

• Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5.
• John Roe: Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods. Second Edition. Chapman & Hall, CRC Research Notes in Mathematics Series, ISBN 978-0-582-32502-9.
• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.