Summierbare Familie

Eine summierbare Familie ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Er dient der Verallgemeinerung des Reihenbegriffs für beliebige Familien in einem Vektorraum.

Formale Definition

Sei $(X,\|\cdot \|)$ ein normierter Vektorraum. Sei $I$ eine Indexmenge und $(x_{i})_{i\in I}$ eine Familie. Sei ${\hat {x}}\in X$.

Die Familie $(x_{i})_{i\in I}$ heißt summierbar zu ${\hat {x}}$ genau dann, wenn

$\forall \varepsilon >0\;\exists E_{0}\subseteq _{\text{endlich}}I\;\forall E_{0}\subseteq E\subseteq _{\text{endlich}}I:\left\|{\hat {x}}-\sum _{i\in E}x_{i}\right\|<\varepsilon$

gilt. Wenn sich also zu jedem $\varepsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ finden lässt so, dass für alle endlichen Obermengen $E\supseteq E_{0}$, die in $I$ liegen, die Summe $\textstyle \sum _{i\in E}x_{i}$ in der Norm von ${\hat {x}}$ weniger als $\varepsilon$ abweicht.

Ähnlich wie bei Reihen lässt sich auch absolute Summierbarkeit definieren. Die Familie $(x_{i})_{i\in I}$ heißt absolut summierbar zu ${\hat {x}}$ genau dann, wenn $(\|x_{i}\|)_{i\in I}$ summierbar zu einem $s\in [0,\infty [$ ist.

Letztlich heißt eine Familie Cauchy-summierbar genau dann, wenn

$\forall \varepsilon >0\;\exists E_{0}\subseteq _{\text{endlich}}I\;\forall E\subseteq _{\text{endlich}}I\setminus E_{0}:\left\|\sum _{i\in E}x_{i}\right\|<\varepsilon$

gilt.

Bemerkungen

• Absolute Summierbarkeit impliziert Summierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
• Ist eine Familie summierbar, ist auch jede Teilfamilie summierbar. Summierbarkeit ist also ein stärkeres Kriterium als einfache Konvergenz von Reihen.
• Aus Summierbarkeit folgt Cauchy-Summierbarkeit. In Banachräumen gilt die Umkehrung. Cauchy-Summierbarkeit ist häufig einfacher zu prüfen.
• Sei $x$ summierbar zu ${\hat {x}}$ und $y$ summierbar zu ${\hat {y}}$ und $\lambda$ ein Skalar. Dann gilt $\textstyle \sum _{i\in I}(x+\lambda y)={\hat {x}}+\lambda {\hat {y}}$.
• Der Träger einer summierbaren Familie ist höchstens abzählbar.