In der Statistik und Ökonometrie ist die zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung bzw. zweistufige KQ-Schätzung (ZSKQ-Schätzung ), auch zweistufige Methode der kleinsten Quadrate (englisch Two Stage Least Squares , kurz: TSLS oder 2SLS ) genannt, ein durch den Ökonometriker Henri Theil entwickeltes Schätzverfahren mit beschränkter Information . Bei diesem zweistufigen Verfahren werden als erstes die endogenen (d. h. die mit der Störgröße korrelierten Variablen) auf alle exogenen Variablen der Gleichung und alle Instrumente regressiert . Als zweites werden die so gewonnenen geschätzten Werte für die endogenen Regressoren , die als Linearkombination exogener Variablen nicht mit dem Störterm korreliert sind, dann ins Ursprungsmodell eingesetzt und das so entstehende neue Modell geschätzt. Der zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzer kann als Instrumentvariablenschätzer interpretiert werden. Die ZSKQ-Schätzung ist nach der gewöhnlichen Methode der kleinsten Quadrate an zweiter Stelle bei der Schätzung linearer Gleichungen in der angewandten Ökonometrie.
Gegeben sei ein typisches multiples lineares Regressionsmodell
y
=
X
β
+
ε
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}
wahres Modell ), mit
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
(
p
×
1
)
{\displaystyle (p\times 1)}
Regressionsparameter , der
(
n
×
p
)
{\displaystyle (n\times p)}
Versuchsplanmatrix
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
(
n
×
1
)
{\displaystyle (n\times 1)}
abhängigen Variablen
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
(
n
×
1
)
{\displaystyle (n\times 1)}
Störgrößen
ε
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}
verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzer (VKQ-Schätzer) kann auf unterschiedliche Art und Weise ausgedrückt werden. Jede dieser Ausdrucksweisen hat ihre eigene Interpretation. Eine bekannte Spezifikation ist die sogenannte zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung , die von Henri Theil entwickelt wurde. Für die Herleitung des zweistufigen Kleinste-Quadrate-Schätzers lässt sich der verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzer
δ
~
i
{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}}
δ
~
i
=
(
Z
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
Z
i
)
−
1
Z
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
y
i
=
(
Y
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
Y
i
Y
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
X
i
X
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
Y
i
X
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
X
i
)
−
1
⋅
(
Y
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
y
i
X
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
y
i
)
{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}=(\mathbf {Z} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Z} _{i})^{-1}\mathbf {Z} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}={\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\end{pmatrix}}}
Die reduzierte Form lautet
Y
=
X
Π
+
V
{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {\Pi } +\mathbf {V} }
i
{\displaystyle i}
[
y
i
Y
i
Y
i
∗
]
=
X
[
π
i
Π
Π
i
∗
]
+
[
v
i
V
i
V
i
∗
]
{\displaystyle [\mathbf {y} _{i}\;\;\mathbf {Y} _{i}\;\;\mathbf {Y} _{i}^{*}]=\mathbf {X} [\pi _{i}\;\;\mathbf {\Pi } \;\;\mathbf {\Pi } _{i}^{*}]+[\mathbf {v} _{i}\;\;\mathbf {V} _{i}\;\;\mathbf {V} _{i}^{*}]}
wobei
y
i
{\displaystyle \mathbf {y} _{i}}
(
T
×
1
)
{\displaystyle (T\times 1)}
i
{\displaystyle i}
Y
i
∗
{\displaystyle \mathbf {Y} _{i}^{*}}
i
{\displaystyle i}
Y
i
∗
{\displaystyle \mathbf {Y} _{i}^{*}}
(
T
×
m
i
∗
)
{\displaystyle (T\times m_{i}^{*})}
i
{\displaystyle i}
[
π
i
Π
Π
i
∗
]
{\displaystyle [\pi _{i}\;\;\mathbf {\Pi } \;\;\mathbf {\Pi } _{i}^{*}]}
Π
i
{\displaystyle \mathbf {\Pi } _{i}}
Π
^
i
=
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
Y
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {\Pi } }}_{i}=(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}}
Prädiktionsmatrix
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
Y
i
=
X
Π
^
i
=
Y
^
i
=
Y
i
−
V
^
i
{\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}=\mathbf {X} {\hat {\mathbf {\Pi } }}_{i}={\hat {\mathbf {Y} }}_{i}=\mathbf {Y} _{i}-{\hat {\mathbf {V} }}_{i}}
Y
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {Y} }}_{i}}
(
T
×
(
m
i
−
1
)
)
{\displaystyle (T\times (m_{i}-1))}
Y
i
{\displaystyle \mathbf {Y} _{i}}
(
X
⊤
X
)
−
1
(
X
⊤
X
)
=
I
{\displaystyle (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )=\mathbf {I} }
[ 1]
δ
~
i
=
(
Y
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
(
X
⊤
X
)
−
1
(
X
⊤
X
)
Y
i
Y
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
X
i
X
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
Y
i
X
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
X
i
)
−
1
⋅
(
Y
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
y
i
X
i
⊤
X
(
X
⊤
X
)
−
1
X
⊤
y
i
)
{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}={\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\end{pmatrix}}}
bzw.
δ
~
i
=
(
Y
^
i
⊤
Y
^
i
Y
^
i
⊤
X
i
X
i
⊤
Y
^
i
X
i
⊤
X
i
)
−
1
⋅
(
Y
^
i
⊤
y
i
X
i
⊤
y
i
)
{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}={\begin{pmatrix}{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}^{\top }{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}&{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}&\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\end{pmatrix}}}
Wenn man
Z
^
i
=
[
Y
^
i
X
i
]
{\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}_{i}=[{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}\;\;\mathbf {X} _{i}]}
δ
~
i
=
(
Z
^
i
⊤
Z
^
i
)
−
1
Z
^
i
⊤
y
i
{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}=({\hat {\mathbf {Z} }}_{i}^{\top }{\hat {\mathbf {Z} }}_{i})^{-1}{\hat {\mathbf {Z} }}_{i}^{\top }\mathbf {y} _{i}}
[ 2] George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl , T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4 .
↑ George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl , T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4 , S. 645.
↑ George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4 , S. 645.
![{\displaystyle [\mathbf {y} _{i}\;\;\mathbf {Y} _{i}\;\;\mathbf {Y} _{i}^{*}]=\mathbf {X} [\pi _{i}\;\;\mathbf {\Pi } \;\;\mathbf {\Pi } _{i}^{*}]+[\mathbf {v} _{i}\;\;\mathbf {V} _{i}\;\;\mathbf {V} _{i}^{*}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523237bc09f7b88238b6b4569154f785bfcfa999)
![{\displaystyle [\pi _{i}\;\;\mathbf {\Pi } \;\;\mathbf {\Pi } _{i}^{*}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9002c68cc3ab13643ad34a095304865b59b04e)
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}_{i}=[{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}\;\;\mathbf {X} _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae3456a7b7e9b22deb7a4a162de5b69e4dbbd1f)
