Tate-Shafarevich-Gruppe

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In der Mathematik misst die Tate-Shafarevich-Gruppe das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten.

Für eine über einem Zahlkörper definierte abelsche Varietät wird die Tate-Shafarevich-Gruppe mit Ш(K,A) (gesprochen: Scha) bezeichnet.

Die Tate-Shafarevich-Gruppe ist eine abelsche Torsionsgruppe. Die auf John T. Tate und Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch zurückgehende Tate-Shafarevich-Vermutung besagt, dass Ш(K,A) endlich ist.

Scheitern des Lokal-Global-Prinzips

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Für quadratische Formen gilt das Lokal-Global-Prinzip: Wenn eine über den rationalen Zahlen definierte quadratische Form Lösungen von in allen -adischen Vervollständigungen (einschließlich der reellen Zahlen für ) hat, dann hat sie auch Lösungen in den rationalen Zahlen. Dies gilt allgemeiner auch für Zahlkörper und ihre Vervollständigungen : Wenn es Lösungen in allen Vervollständigungen gibt, dann gibt es Lösungen in .

Für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten gilt dieses Prinzip nicht.

Weil sich -rationale Punkte auf einer abelschen Varietät durch die Kohomologiegruppe beschreiben lassen, entspricht das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips der Nicht-Injektivität von , wobei das Produkt über alle Vervollständigungen gebildet wird. Man definiert deshalb die Tate-Shafarevich-Gruppe als

.
  • Serge Lang, John Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, 1958
  • Igor Shafarewitsch: The group of principal homogeneous algebraic manifolds, Doklady Akademii Nauk SSSR (russisch), 124: 42–43, 1959