Dieser Artikel behandelt
unendliche Taylorreihen. Zur Darstellung von Funktionen durch eine Partialsumme dieser Reihen, das sog. Taylorpolynom, und ein Restglied siehe
Taylor-Formel .
Approximation von ln(x ) durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um die Entwicklungsstelle 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1. Animation zur Approximation ln(1+x ) an der Stelle x =0 Die Taylorreihe wird in der Analysis verwendet, um eine analytische Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen, die der Grenzwert der Taylor-Polynome ist. Diese Reihenentwicklung wird Taylor-Entwicklung genannt. Reihe und Entwicklung sind nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor benannt.
Ist
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
Intervall ,
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }
glatte Funktion und
a
{\displaystyle a}
I
{\displaystyle I}
unendliche Reihe
T
f
(
x
;
a
)
:=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
(
x
−
a
)
2
+
f
‴
(
a
)
6
(
x
−
a
)
3
+
⋯
{\displaystyle Tf(x;a):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{6}}(x-a)^{3}+\dotsb }
die Taylorreihe von
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
n
!
{\displaystyle n!}
Fakultät von
n
{\displaystyle n}
f
(
n
)
{\displaystyle f^{(n)}}
n
{\displaystyle n}
Ableitung von
f
{\displaystyle f}
f
(
0
)
:=
f
{\displaystyle f^{(0)}:=f}
Die Reihe ist hier zunächst nur „formal “ zu verstehen. Das heißt, dass die Konvergenz der Reihe nicht vorausgesetzt ist. In der Tat gibt es Taylorreihen, die nicht überall konvergieren (für
T
log
(
x
;
1
)
{\displaystyle T\log(x;1)}
T
f
(
x
;
0
)
{\displaystyle Tf(x;0)}
f
(
x
)
=
{
exp
(
−
1
x
2
)
für
x
≠
0
0
für
x
=
0
.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)&{\text{für }}x\neq 0\\0&{\text{für }}x=0\end{cases}}.}
Im Spezialfall
a
=
0
{\displaystyle a=0}
Maclaurin-Reihe genannt.
Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe
T
1
f
(
x
;
a
)
:=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
⋅
(
x
−
a
)
{\displaystyle T_{1}f(x;a):=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)}
nennt man auch Linearisierung von
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
T
N
f
(
x
;
a
)
:=
∑
n
=
0
N
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
,
{\displaystyle T_{N}f(x;a):=\sum _{n=0}^{N}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},}
die für festes
a
{\displaystyle a}
Polynom in der Variablen
x
{\displaystyle x}
N
{\displaystyle N}
Taylorpolynom
Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion
f
{\displaystyle f}
Numerik , der Physik und der Ingenieurwissenschaften .
Die Taylorreihe
T
f
(
x
;
a
)
{\displaystyle Tf(x;a)}
f
{\displaystyle f}
Potenzreihe mit den Ableitungen
(
T
f
)
(
k
)
(
x
;
a
)
=
(
d
d
x
)
k
−
1
∑
n
=
0
∞
d
d
x
(
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
)
=
(
d
d
x
)
k
−
1
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
n
(
x
−
a
)
n
−
1
=
(
d
d
x
)
k
−
1
∑
n
=
0
∞
f
(
n
+
1
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
(
T
f
′
)
(
k
−
1
)
(
x
;
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(Tf\right)^{(k)}(x;a)&=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k-1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}n(x-a)^{n-1}\\&=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n+1)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\left(Tf'\right)^{(k-1)}(x;a)\end{aligned}}}
und somit folgt durch vollständige Induktion :
(
T
f
)
(
k
)
(
x
;
a
)
=
(
T
f
(
k
)
)
(
x
;
a
)
{\displaystyle \left(Tf\right)^{(k)}(x;a)=\left(Tf^{(k)}\right)(x;a)}
Wegen
(
T
f
)
(
a
;
a
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
a
−
a
)
n
=
f
(
0
)
(
a
)
0
!
(
a
−
a
)
0
=
f
(
a
)
{\displaystyle \left(Tf\right)(a;a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(a-a)^{n}={\frac {f^{(0)}(a)}{0!}}(a-a)^{0}=f(a)}
stimmen an der Entwicklungsstelle
a
{\displaystyle a}
T
f
{\displaystyle Tf}
f
{\displaystyle f}
(
T
f
)
(
k
)
(
a
;
a
)
=
(
T
f
(
k
)
)
(
a
;
a
)
=
f
(
k
)
(
a
)
{\displaystyle \left(Tf\right)^{(k)}(a;a)=\left(Tf^{(k)}\right)(a;a)=f^{(k)}(a)}
Im Fall einer analytischen Funktion
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}}
f
(
k
)
(
x
)
=
∑
n
=
k
∞
a
n
n
!
(
n
−
k
)
!
(
x
−
a
)
n
−
k
f
(
k
)
(
a
)
k
!
=
a
k
{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(k)}(x)&=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}{\frac {n!}{(n-k)!}}(x-a)^{n-k}\\{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}&=a_{k}\end{aligned}}}
und somit
T
f
(
x
;
a
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle Tf(x;a)=f(x)}
Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle x =0 Die natürliche Exponentialfunktion wird auf ganz
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
für alle
x
∈
R
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dotsb \quad {\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} }
Beim natürlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den Konvergenzradius 1, d. h., für
0
<
x
≤
2
{\displaystyle 0<x\leq 2}
ln
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
x
−
1
)
n
=
(
x
−
1
)
−
(
x
−
1
)
2
2
+
(
x
−
1
)
3
3
−
⋯
für
0
<
x
≤
2
{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-\dotsb \quad {\text{ für }}0<x\leq 2}
Schneller konvergiert die Reihe
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
=
2
∑
k
=
0
∞
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
2
x
+
2
3
x
3
+
2
5
x
5
+
⋯
für
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=2x+{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {2}{5}}x^{5}+\dotsb \qquad {\text{ für }}-1<x<1}
und daher ist sie geeigneter für praktische Anwendungen.
Wählt man
x
:=
y
−
1
y
+
1
{\displaystyle x:={\frac {y-1}{y+1}}}
y
>
0
{\displaystyle y>0}
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle -1<x<1}
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
=
ln
(
y
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=\ln(y)}
Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome T vom Grad 1, 3, 5 und 7 Animation: Die Kosinusfunktion um die Stelle 0 entwickelt, in sukzessiver Näherung Für die Entwicklungsstelle
0
{\displaystyle 0}
Maclaurin-Reihen ) gilt:
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
für alle
x
=
x
−
x
3
6
+
x
5
120
−
⋯
cos
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
für alle
x
=
1
−
x
2
2
+
x
4
24
−
⋯
tan
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
für
|
x
|
<
π
2
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
sec
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
für
|
x
|
<
π
2
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&{\text{für alle}}\ x\\&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\dotsb \\\cos(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&{\text{für alle}}\ x\\&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\dotsb \\\tan(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}&{\text{für }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\dotsb \\\sec(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&{\text{für }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\dotsb \\\end{aligned}}}
Hierbei ist
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
2
n
{\displaystyle 2n}
Bernoulli-Zahl und
E
2
n
{\displaystyle E_{2n}}
2
n
{\displaystyle 2n}
Eulersche Zahl .
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
für
|
x
|
<
1
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
für
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
für
|
x
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad &{\text{für }}\left|x\right|<1\\\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{\text{für }}\left|x\right|\leq 1\\\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}&{\text{für }}\left|x\right|\leq 1\end{aligned}}}
Die Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
f
(
n
)
(
a
)
=
u
n
g
(
n
)
(
a
)
=
v
n
{\displaystyle f^{(n)}(a)=u_{n}\qquad g^{(n)}(a)=v_{n}}
Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich dann:
(
f
⋅
g
)
(
n
)
(
a
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
u
k
v
n
−
k
{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}(a)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}u_{k}v_{n-k}}
Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben:
T
f
(
x
;
a
)
=
∑
n
=
0
∞
α
n
(
x
−
a
)
n
T
g
(
x
;
a
)
=
∑
n
=
0
∞
β
n
(
x
−
a
)
n
,
{\displaystyle Tf(x;a)=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}(x-a)^{n}\qquad Tg(x;a)=\sum _{n=0}^{\infty }\beta _{n}(x-a)^{n},}
so gilt
T
(
f
⋅
g
)
(
x
;
a
)
=
∑
n
=
0
∞
γ
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle T(f\cdot g)(x;a)=\sum _{n=0}^{\infty }\gamma _{n}(x-a)^{n}}
mit
γ
n
=
(
f
⋅
g
)
(
n
)
(
a
)
n
!
=
1
n
!
∑
k
=
0
n
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
(
k
!
α
k
)
(
(
n
−
k
)
!
β
n
−
k
)
=
∑
k
=
0
n
α
k
β
n
−
k
.
{\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(f\cdot g)^{(n)}(a)}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}(k!\,\alpha _{k})((n-k)!\,\beta _{n-k})=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\beta _{n-k}.}
Dies entspricht der Cauchy-Produktformel der beiden Potenzreihen.
Seien
f
(
x
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\exp(x)}
g
(
x
)
=
1
+
x
{\displaystyle g(x)=1+x}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
α
n
=
1
n
!
,
β
n
=
{
1
für
n
∈
{
0
,
1
}
0
für
n
>
1
{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad \beta _{n}={\begin{cases}1&{\text{für }}n\in \{0,1\}\\0&{\text{für }}n>1\end{cases}}}
und wir erhalten
γ
0
=
α
0
=
1
für
n
=
0
,
γ
n
=
α
n
+
α
n
−
1
für
n
>
0
,
{\displaystyle \gamma _{0}=\alpha _{0}=1{\text{ für }}n=0,\qquad \gamma _{n}=\alpha _{n}+\alpha _{n-1}{\text{ für }}n>0,}
in beiden Fällen also
γ
n
=
1
+
n
n
!
,
{\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1+n}{n!}},}
und somit
T
(
f
⋅
g
)
(
x
;
0
)
=
∑
n
=
0
∞
1
+
n
n
!
x
n
.
{\displaystyle T(f\cdot g)(x;0)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+n}{n!}}x^{n}.}
Diese Taylorentwicklung wäre allerdings auch direkt über die Berechnung der Ableitungen von
exp
(
x
)
⋅
(
1
+
x
)
{\displaystyle \exp(x)\cdot (1+x)}
(
exp
(
x
)
⋅
(
1
+
x
)
)
(
n
)
(
x
)
=
exp
(
x
)
⋅
(
1
+
n
+
x
)
(
exp
(
x
)
⋅
(
1
+
x
)
)
(
n
)
(
0
)
=
1
+
n
{\displaystyle {\begin{aligned}(\exp(x)\cdot (1+x))^{(n)}(x)&=\exp(x)\cdot (1+n+x)\\(\exp(x)\cdot (1+x))^{(n)}(0)&=1+n\end{aligned}}}
Dass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle
a
{\displaystyle a}
Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit
f
{\displaystyle f}
Die Funktion
f
(
x
)
=
∫
0
∞
e
−
t
1
+
x
2
t
d
t
{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{1+x^{2}t}}\mathrm {d} t}
ist auf ganz
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
a
=
0
{\displaystyle a=0}
T
f
(
x
;
0
)
=
1
−
x
2
+
2
!
x
4
−
3
!
x
6
+
4
!
x
8
∓
⋯
{\displaystyle Tf(x;0)=1-x^{2}+2!x^{4}-3!x^{6}+4!x^{8}\mp \dotsb }
und somit nur für
x
=
0
{\displaystyle x=0}
[ 1]
Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die Entwicklungsstelle
a
=
0
{\displaystyle a=0}
f
(
x
)
=
{
0
für
x
≤
0
e
−
1
/
x
2
für
x
>
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-1/x^{2}}&{\text{für }}x>0\end{cases}}}
Als reelle Funktion ist
f
{\displaystyle f}
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Nullpunkt ist also die Nullfunktion und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
0
{\displaystyle 0}
2
a
{\displaystyle 2a}
f
{\displaystyle f}
Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Sei nun im Folgenden
f
:
R
d
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }
a
∈
R
d
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}}
Dann kann man zur Funktionsauswertung
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
F
x
;
a
(
t
)
:
R
→
R
{\displaystyle F_{x;a}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
F
x
;
a
(
t
)
=
f
(
a
+
t
⋅
(
x
−
a
)
)
{\displaystyle F_{x;a}(t)=f(a+t\cdot (x-a))}
F
x
;
a
(
1
)
{\displaystyle F_{x;a}(1)}
t
=
1
{\displaystyle t=1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Berechnet man nun von
F
x
;
a
{\displaystyle F_{x;a}}
t
0
=
0
{\displaystyle t_{0}=0}
t
=
1
{\displaystyle t=1}
f
{\displaystyle f}
T
f
(
x
;
a
)
:=
T
F
x
;
a
(
1
;
0
)
=
∑
n
=
0
∞
F
x
;
a
(
n
)
(
0
)
n
!
{\displaystyle Tf(x;a):=TF_{x;a}(1;0)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {F_{x;a}^{(n)}(0)}{n!}}}
Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und den Multiindex -Notationen für
α
=
(
α
1
,
…
,
α
d
)
∈
N
0
d
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{d})\in \mathbb {N} _{0}^{d}}
D
α
=
∂
|
α
|
∂
x
1
α
1
⋯
∂
x
d
α
d
(
n
α
)
=
n
!
∏
i
=
1
d
α
i
!
{\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{d}^{\alpha _{d}}}}\qquad {\binom {n}{\alpha }}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{d}\alpha _{i}!}}}
erhält man ferner:
F
x
;
a
(
n
)
(
t
)
=
∑
|
α
|
=
n
(
n
α
)
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
{\displaystyle F_{x;a}^{(n)}(t)=\sum _{|\alpha |=n}{\binom {n}{\alpha }}(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+t(x-a))}
Mit der Schreibweise
α
!
=
∏
i
=
1
d
α
i
!
{\displaystyle \alpha !=\prod _{i=1}^{d}\alpha _{i}!}
a
{\displaystyle a}
T
f
(
x
;
a
)
=
∑
|
α
|
≥
0
(
x
−
a
)
α
α
!
D
α
f
(
a
)
{\displaystyle Tf(x;a)=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(x-a)^{\alpha }}{\alpha !}}D^{\alpha }f(a)}
in Übereinstimmung zum eindimensionalen Fall, falls man die Multiindex-Notation verwendet.
Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus:
T
f
(
x
;
a
)
=
∑
n
1
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
∏
i
=
1
d
(
x
i
−
a
i
)
n
i
∏
i
=
1
d
n
i
!
(
∂
∑
i
=
1
d
n
i
f
∂
x
1
n
1
⋯
∂
x
d
n
d
)
(
a
)
=
=
f
(
a
)
+
∑
j
=
1
d
∂
f
(
a
)
∂
x
j
(
x
j
−
a
j
)
+
1
2
∑
j
=
1
d
∑
k
=
1
d
∂
2
f
(
a
)
∂
x
j
∂
x
k
(
x
j
−
a
j
)
(
x
k
−
a
k
)
+
+
1
6
∑
j
=
1
d
∑
k
=
1
d
∑
l
=
1
d
∂
3
f
(
a
)
∂
x
j
∂
x
k
∂
x
l
(
x
j
−
a
j
)
(
x
k
−
a
k
)
(
x
l
−
a
l
)
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}Tf(x;a)=&\ \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{d}(x_{i}-a_{i})^{n_{i}}}{\prod _{i=1}^{d}n_{i}!}}\,\left({\frac {\partial ^{\sum _{i=1}^{d}n_{i}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a)=\\=&\ f(a)+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a)}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})+{}\\&+{\frac {1}{6}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a)}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\dotsb \end{aligned}}}
Zum Beispiel gilt nach dem Satz von Schwarz für die Taylorreihe einer Funktion
g
:
R
2
→
R
{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
x
=
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}
a
=
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle a=(a_{1},a_{2})}
T
g
(
x
;
a
)
=
g
(
a
)
+
g
x
1
(
a
)
⋅
(
x
1
−
a
1
)
+
g
x
2
(
a
)
⋅
(
x
2
−
a
2
)
+
+
1
2
[
(
x
1
−
a
1
)
2
g
x
1
x
1
(
a
)
+
2
(
x
1
−
a
1
)
(
x
2
−
a
2
)
g
x
1
x
2
(
a
)
+
(
x
2
−
a
2
)
2
g
x
2
x
2
(
a
)
]
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}Tg(x;a)=&\ g(a)+g_{x_{1}}(a)\cdot (x_{1}-a_{1})+g_{x_{2}}(a)\cdot (x_{2}-a_{2})\ +\\&+{\frac {1}{2}}\left[(x_{1}-a_{1})^{2}g_{x_{1}x_{1}}(a)+2(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\,g_{x_{1}x_{2}}(a)+(x_{2}-a_{2})^{2}g_{x_{2}x_{2}}(a)\right]+\dotsb \end{aligned}}}
Die Taylorreihe lässt sich auch in der Form
e
(
x
−
a
)
D
f
(
a
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{(x-a)D}f(a)}
D
{\displaystyle D}
T
h
{\displaystyle T^{h}}
(
T
h
f
)
(
x
)
:=
f
(
x
+
h
)
{\displaystyle (T^{h}f)(x):=f(x+h)}
T
h
=
e
h
D
{\displaystyle T^{h}=\mathrm {e} ^{hD}}
f
(
x
+
h
)
=
e
h
D
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
h
k
k
!
D
k
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x+h)=\mathrm {e} ^{hD}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {h^{k}}{k!}}D^{k}f(x).}
Für Funktionen von mehreren Variablen lässt sich
h
D
{\displaystyle hD}
D
h
=
⟨
h
,
∇
⟩
{\displaystyle D_{h}=\langle h,\nabla \rangle }
f
(
x
+
h
)
=
e
⟨
h
,
∇
⟩
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
⟨
h
,
∇
⟩
k
k
!
f
(
x
)
=
∑
|
α
|
≥
0
h
α
α
!
D
α
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x+h)=\mathrm {e} ^{\langle h,\nabla \rangle }f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\langle h,\nabla \rangle ^{k}}{k!}}f(x)=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}D^{\alpha }f(x).}
Man gelangt von links nach rechts, indem man zunächst die Exponentialreihe einsetzt, dann den Gradienten in kartesischen Koordinaten sowie das Standardskalarprodukt und schließlich das Multinomialtheorem verwendet.
Für die Taylorreihe lässt sich auch ein diskretes Analogon finden. Man definiert dazu den Differenzenoperator
Δ
a
{\displaystyle \Delta _{a}}
(
Δ
a
f
)
(
x
)
:=
f
(
x
+
a
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle (\Delta _{a}f)(x):=f(x+a)-f(x)}
T
a
=
I
+
Δ
a
{\displaystyle T^{a}=I+\Delta _{a}}
I
{\displaystyle I}
h
{\displaystyle h}
binomische Reihe , so ergibt sich
T
a
h
=
(
I
+
Δ
a
)
h
=
∑
k
=
0
∞
(
h
k
)
Δ
a
k
.
{\displaystyle T^{ah}=(I+\Delta _{a})^{h}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {h}{k}}\Delta _{a}^{k}.}
Man gelangt zur Formel
f
(
x
+
a
h
)
=
∑
k
=
0
∞
(
h
k
)
Δ
a
k
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
h
k
_
k
!
Δ
a
k
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(x+ah)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {h}{k}}\Delta _{a}^{k}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {h^{\underline {k}}}{k!}}\Delta _{a}^{k}f(x),}
wobei mit
h
k
_
{\displaystyle h^{\underline {k}}}
absteigende Faktorielle gemeint ist.
Diese Formel ist als newtonsche Formel zur Polynominterpolation bei äquidistanten Stützstellen bekannt.
Sie stimmt für alle Polynomfunktionen, braucht aber für andere Funktionen nicht unbedingt korrekt zu sein.
Die koordinatenfreie Verallgemeinerung der Taylorreihe ist das Konzept des Jets .
↑ Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null (Wikibooks).
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Tg(x;a)=&\ g(a)+g_{x_{1}}(a)\cdot (x_{1}-a_{1})+g_{x_{2}}(a)\cdot (x_{2}-a_{2})\ +\\&+{\frac {1}{2}}\left[(x_{1}-a_{1})^{2}g_{x_{1}x_{1}}(a)+2(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\,g_{x_{1}x_{2}}(a)+(x_{2}-a_{2})^{2}g_{x_{2}x_{2}}(a)\right]+\dotsb \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593833c46f45cd59f2c847a15f099abdddfadac5)
