Thomsonsche Schwingungsgleichung

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz $f_{0}$ eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

$f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

$T={\frac {1}{f_{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}$

Herleitung

Allgemein

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand $X_{C}$ des Kondensators und der induktive Widerstand $X_{L}$ der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

$X_{L}+X_{C}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \omega _{0}L-{\frac {1}{\omega _{0}C}}=0$

$\omega _{0}L={\frac {1}{\omega _{0}C}}$

$2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}}$, da gilt $\omega =2\pi f$

${f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}$

$f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$, üblich ist auch die Form: $\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

Nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

$\!\,E_{\mathrm {mag} }(t)+E_{\rm {el}}(t)=E_{\rm {Gesamt}}$

$E_{\mathrm {mag} }$: magnetische Feldenergie der Spule

$E_{\mathrm {el} }$: elektrische Feldenergie des Kondensators

$E_{\mathrm {Gesamt} }$: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

${\frac {1}{2}}LI^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }$

Aus

$I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}={\dot {Q}}(t)$

folgt:

${\frac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }$

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

$L{\dot {Q}}{\ddot {Q}}(t)+{\frac {1}{C}}Q{\dot {Q}}(t)=0$

$I(t)\left(L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)\right)=0$

$L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)=0$, da im Schwingkreis gilt: $I(t)\neq 0$.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen $Q(t)$ und ${\ddot {Q}}(t)$ herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

$Q(t)={\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )$

${\dot {Q}}(t)=\omega {\hat {Q}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )$

${\ddot {Q}}(t)=-\omega ^{2}{\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}\cdot Q(t)$

${\hat {Q}}$: maximale Ladung (Amplitude)

$\omega$: Kreisfrequenz

$\varphi$: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

${\frac {1}{C}}Q(t)-\omega ^{2}LQ(t)=0$

$Q(t)\left({\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L\right)=0$

${\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L=0$, da im Schwingkreis gilt: $Q(t)\neq 0$

Daraus folgt mit $\omega =2\pi f$:

${\frac {1}{C}}-4\pi ^{2}f_{0}^{2}L=0$

${f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}$

$f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von $\left\vert X_{L}\right\vert =\left\vert X_{C}\right\vert$, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand R_L von L berechnet werden:

$\omega _{D}=\omega _{0}{\sqrt {1-R_{L}^{2}{\frac {C}{L}}}}$

Literatur

• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4. 

Weblinks

• Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft (LEIFI)