Finaltopologie

Als Finaltopologie bezüglich einer Abbildungsfamilie bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Topologie die feinste Topologie auf einer Menge $X$, die diese Familie von Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach $X$ stetig macht. Die Finaltopologie entsteht also durch „Vorwärtsübertragung“ der auf den Urbildräumen vorhandenen topologischen Strukturen auf die Menge $X$. Dies ist die Anwendung eines allgemeineren Konzepts aus der Kategorientheorie auf topologische Räume, mit der wichtige „natürliche Räume“ wie Quotienten- und Summenräume in einen gemeinsamen Rahmen gestellt werden können. Je nach Kontext spricht man dann auch von Quotiententopologie bzw. Summentopologie.

Definition

Gegeben ist eine Menge $X$, eine Familie von topologischen Räumen $(Y_{i},T_{i})$ und eine Familie von Abbildungen $f_{i}\colon Y_{i}\to X$. Eine Topologie $S$ auf $X$ heißt Finaltopologie bezüglich der Familie $(Y_{i},T_{i},f_{i})$ wenn sie eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

Universelle Eigenschaft der Finaltopologie

1. $S$ ist die feinste Topologie auf $X$, bezüglich der alle Abbildungen $f_{i}$ stetig sind.
2. Eine Teilmenge $O$ von $X$ ist offen (also in $S$) genau dann, wenn alle ihre Urbilder $f_{i}^{-1}(O)$ in den jeweiligen Urbildräumen offen sind.
3. Eine Funktion $g$ von $X$ in einen topologischen Raum $Z$ ist genau dann stetig, wenn $g\circ f_{i}$ stetig ist für jedes $f_{i}$ der Familie.

Bemerkungen

Die drei Formulierungen der Definition beleuchten unterschiedliche Aspekte der Finaltopologie:

1. Hier wird sie als Infimum gewisser Topologien im Verband aller Topologien auf $X$ angesehen: Durch jede einzelne Abbildung $f_{i}$ wird aus dem Urbildraum $Y_{i}$ eine topologische Struktur $S_{i}$ auf $X$ übertragen und die Finaltopologie $S$ ist der Durchschnitt all dieser Topologien. Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Finaltopologie beweisen.
2. Diese Definition ist konstruktiv. Mit ihr kann man für beliebige Teilmengen von $X$ entscheiden, ob sie in der Finaltopologie offen sind. Hieraus ergibt sich leicht die Eindeutigkeit dieser Topologie.
3. Die abstrakte Charakterisierung rechtfertigt die Bezeichnung „Final“-Topologie und gestattet es, diese Strukturen im allgemeineren Rahmen der Kategorientheorie zu betrachten. Die Initialtopologie kann durch die hierzu duale Eigenschaft charakterisiert werden.

Beispiele

• Die Quotiententopologie ist die Finaltopologie bezüglich der kanonischen Projektion auf den Quotientenraum.
• Der topologische Summenraum einer Familie $X_{i}$ von topologischen Räumen ist die Finaltopologie auf der disjunkten Vereinigungsmenge der Familie bezüglich der kanonischen Inklusionsabbildungen. In diesem Fall nennt man die Finaltopologie auch die Summentopologie.
• Die Kombination der Summen- und Quotientenraumbildung, also das „Verkleben“ mehrerer topologischer Räume, kann mit der Finaltopologie in einem Schritt vorgenommen werden.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-09799-6 (Hochschultext).