Totalkrümmung
In der Kurventheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, wird die Totalkrümmung einer Kurve definiert als das Integral ihrer Krümmung , also als
- .
Kurven in der Ebene
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Totalkrümmung einer geschlossenen Kurve in der Ebene ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von . Der ganzzahlige Faktor ist die Tangentenumlaufzahl der Kurve.
Aus dem Satz von Whitney-Graustein folgt, dass sich die Totalkrümmung einer geschlossenen regulären Kurve unter regulären Homotopien nicht ändert.
Raumkurven
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus der Fary-Milnor-Ungleichung folgt, dass die Totalkrümmung einer verknoteten Raumkurve stets größer als ist.
Höherdimensionale Verallgemeinerung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für höherdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten bezeichnet man als Totale Skalarkrümmung (oder im Fall von Flächen ebenfalls als Totalkrümmung) das Integral
der Skalarkrümmung bezüglich der Volumenform der riemannschen Metrik .
Für Flächen folgt aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass ihre Totalkrümmung nur von der Euler-Charakteristik der Fläche und nicht von der riemannschen Metrik abhängt.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten, Springer Spektrum 2013, ISBN 978-3-658-00615-0