Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (nach ihrem Zusammenhang mit dem Coulomb-Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung genannt) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld ${\vec {E}}$ und das magnetische Feld ${\vec {B}}$, das elektrische Skalarpotential $\Phi$ und das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}$ ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:

${\vec {E}}=-\nabla \Phi -\partial _{t}{\vec {A}}$

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$.

Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

$\nabla \cdot {\vec {A}}=0$

Wegen $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ und ${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla =\nabla {\frac {\partial }{\partial t}}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man

$\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

und

$\Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}\nabla \partial _{t}\Phi \,\,(=:\,-\mu _{0}{\vec {j}}_{\rm {T}})$.

Der Quellterm ${\vec {j}}_{\rm {T}}$ wird der transversale Strom genannt, weil nach Konstruktion $\nabla \cdot {\vec {j}}_{\rm {T}}=0$ gilt. Diese Bedingung ist notwendig, damit die partielle Differentialgleichung durch Vektorpotentiale gelöst werden kann, die die Coulomb-Eichung erfüllen.

Die Lösung der ersten Gleichung ist das skalare Potential

$\Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime },t)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }$,

dieses ist also in dieser Eichung identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}_{\rm {T}}({\vec {r}}^{\prime },t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }$.

Dabei ist die retardierte Zeit $t'$ gegeben durch $t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}{c}}$ . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) ${\vec {r}}'$ der Signale zum Ankunftspunkt ${\vec {r}}$ zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).

Der Vor- oder Nachteil der Coulomb-Eichung besteht in den zwei unterschiedlichen Zeiten in den Integralen. Das skalare Potential hängt von der instantanen Ladungsverteilung (Zeitpunkt t) ab, während für das Vektorpotential der retardierte Strom (Zeitpunkt t' < t) relevant ist. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern berücksichtigt Retardierung durchgehend. Damit ist sie auch explizit relativistisch invariant.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu

$\Delta \Phi =0$

und

$\Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=0$,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4.