In der Mathematik ist die
n
{\displaystyle n}
-te Taxicab-Zahl definiert als die kleinste natürliche Zahl , die sich auf
n
{\displaystyle n}
verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lässt. Godfrey Harold Hardy und E. M. Wright haben bewiesen, dass es für jede natürliche Zahl
n
{\displaystyle n}
eine Taxicab-Zahl
Ta
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}
gibt.[ 1] Der Beweis sagt jedoch nichts über die Werte dieser Zahlen aus, sodass sie nur mit großem (computerunterstütztem) Aufwand gefunden werden können.
Ihren Namen verdankt sie einer berühmten Anekdote von Hardy. Er besuchte Ramanujan am Krankenbett und erwähnte, dass er mit einem Taxi der Nummer
1
729
{\displaystyle 1\,729}
gekommen sei, was Hardy für eine uninteressante Zahl hielt. Ramanujan fand dies nicht, indem er Hardy die oben erwähnten Eigenschaften darlegte.[ 2]
Die folgenden sechs Taxicab-Zahlen sind bekannt (Folge A011541 in OEIS ):
Ta
(
1
)
=
2
=
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)&=2\\&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
2
)
=
1
729
=
1
3
+
12
3
=
9
3
+
10
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)&=1\,729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
3
)
=
87
539
319
=
167
3
+
436
3
=
228
3
+
423
3
=
255
3
+
414
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)&=87\,539\,319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
4
)
=
6
963
472
309
248
=
2
421
3
+
19
083
3
=
5
436
3
+
18
948
3
=
10
200
3
+
18
072
3
=
13
322
3
+
16
630
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)&=6\,963\,472\,309\,248\\&=2\,421^{3}+19\,083^{3}\\&=5\,436^{3}+18\,948^{3}\\&=10\,200^{3}+18\,072^{3}\\&=13\,322^{3}+16\,630^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
5
)
=
48
988
659
276
962
496
=
38
787
3
+
365
757
3
=
107
839
3
+
362
753
3
=
205
292
3
+
342
952
3
=
221
424
3
+
336
588
3
=
231
518
3
+
331
954
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)&=48\,988\,659\,276\,962\,496\\&=38\,787^{3}+365\,757^{3}\\&=107\,839^{3}+362\,753^{3}\\&=205\,292^{3}+342\,952^{3}\\&=221\,424^{3}+336\,588^{3}\\&=231\,518^{3}+331\,954^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
6
)
=
24
153
319
581
254
312
065
344
=
582
162
3
+
28
906
206
3
=
3
064
173
3
+
28
894
803
3
=
8
519
281
3
+
28
657
487
3
=
16
218
068
3
+
27
093
208
3
=
17
492
496
3
+
26
590
452
3
=
18
289
922
3
+
26
224
366
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)&=24\,153\,319\,581\,254\,312\,065\,344\\&=582\,162^{3}+28\,906\,206^{3}\\&=3\,064\,173^{3}+28\,894\,803^{3}\\&=8\,519\,281^{3}+28\,657\,487^{3}\\&=16\,218\,068^{3}+27\,093\,208^{3}\\&=17\,492\,496^{3}+26\,590\,452^{3}\\&=18\,289\,922^{3}+26\,224\,366^{3}\end{aligned}}}
Für die nachfolgenden sechs Taxicab-Zahlen sind obere Schranken bekannt:[ 3]
Ta
(
7
)
≤
24
885
189
317
885
898
975
235
988
544
=
2
648
660
966
3
+
1
847
282
122
3
=
2
685
635
652
3
+
1
766
742
096
3
=
2
736
414
008
3
+
1
638
024
868
3
=
2
894
406
187
3
+
860
447
381
3
=
2
915
734
948
3
+
459
531
128
3
=
2
918
375
103
3
+
309
481
473
3
=
2
919
526
806
3
+
58
798
362
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)&\leq 24\,885\,189\,317\,885\,898\,975\,235\,988\,544\\&=2\,648\,660\,966^{3}+1\,847\,282\,122^{3}\\&=2\,685\,635\,652^{3}+1\,766\,742\,096^{3}\\&=2\,736\,414\,008^{3}+1\,638\,024\,868^{3}\\&=2\,894\,406\,187^{3}+860\,447\,381^{3}\\&=2\,915\,734\,948^{3}+459\,531\,128^{3}\\&=2\,918\,375\,103^{3}+309\,481\,473^{3}\\&=2\,919\,526\,806^{3}+58\,798\,362^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
8
)
≤
50
974
398
750
539
071
400
590
819
921
724
352
=
299
512
063
576
3
+
288
873
662
876
3
=
336
379
942
682
3
+
234
604
829
494
3
=
341
075
727
804
3
+
224
376
246
192
3
=
347
524
579
016
3
+
208
029
158
236
3
=
367
589
585
749
3
+
109
276
817
387
3
=
370
298
338
396
3
+
58
360
453
256
3
=
370
633
638
081
3
+
39
304
147
071
3
=
370
779
904
362
3
+
7
467
391
974
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)&\leq 50\,974\,398\,750\,539\,071\,400\,590\,819\,921\,724\,352\\&=299\,512\,063\,576^{3}+288\,873\,662\,876^{3}\\&=336\,379\,942\,682^{3}+234\,604\,829\,494^{3}\\&=341\,075\,727\,804^{3}+224\,376\,246\,192^{3}\\&=347\,524\,579\,016^{3}+208\,029\,158\,236^{3}\\&=367\,589\,585\,749^{3}+109\,276\,817\,387^{3}\\&=370\,298\,338\,396^{3}+58\,360\,453\,256^{3}\\&=370\,633\,638\,081^{3}+39\,304\,147\,071^{3}\\&=370\,779\,904\,362^{3}+7\,467\,391\,974^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
9
)
≤
136
897
813
798
023
990
395
783
317
207
361
432
493
888
=
41
632
176
837
064
3
+
40
153
439
139
764
3
=
46
756
812
032
798
3
+
32
610
071
299
666
3
=
47
409
526
164
756
3
+
31
188
298
220
688
3
=
48
305
916
483
224
3
+
28
916
052
994
804
3
=
51
094
952
419
111
3
+
15
189
477
616
793
3
=
51
471
469
037
044
3
+
8
112
103
002
584
3
=
51
518
075
693
259
3
+
5
463
276
442
869
3
=
51
530
042
142
656
3
+
4
076
877
805
588
3
=
51
538
406
706
318
3
+
1
037
967
484
386
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)&\leq 136\,897\,813\,798\,023\,990\,395\,783\,317\,207\,361\,432\,493\,888\\&=41\,632\,176\,837\,064^{3}+40\,153\,439\,139\,764^{3}\\&=46\,756\,812\,032\,798^{3}+32\,610\,071\,299\,666^{3}\\&=47\,409\,526\,164\,756^{3}+31\,188\,298\,220\,688^{3}\\&=48\,305\,916\,483\,224^{3}+28\,916\,052\,994\,804^{3}\\&=51\,094\,952\,419\,111^{3}+15\,189\,477\,616\,793^{3}\\&=51\,471\,469\,037\,044^{3}+8\,112\,103\,002\,584^{3}\\&=51\,518\,075\,693\,259^{3}+5\,463\,276\,442\,869^{3}\\&=51\,530\,042\,142\,656^{3}+4\,076\,877\,805\,588^{3}\\&=51\,538\,406\,706\,318^{3}+1\,037\,967\,484\,386^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
10
)
≤
7
335
345
315
241
855
602
572
782
233
444
632
535
674
275
447
104
=
15
695
330
667
573
128
3
+
15
137
846
555
691
028
3
=
17
627
318
136
364
846
3
+
12
293
996
879
974
082
3
=
17
873
391
364
113
012
3
+
11
757
988
429
199
376
3
=
18
211
330
514
175
448
3
+
10
901
351
979
041
108
3
=
19
262
797
062
004
847
3
+
5
726
433
061
530
961
3
=
19
404
743
826
965
588
3
+
3
058
262
831
974
168
3
=
19
422
314
536
358
643
3
+
2
059
655
218
961
613
3
=
19
426
825
887
781
312
3
+
1
536
982
932
706
676
3
=
19
429
379
778
270
560
3
+
904
069
333
568
884
3
=
19
429
979
328
281
886
3
+
391
313
741
613
522
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7\,335\,345\,315\,241\,855\,602\,572\,782\,233\,444\,632\,535\,674\,275\,447\,104\\&=15\,695\,330\,667\,573\,128^{3}+15\,137\,846\,555\,691\,028^{3}\\&=17\,627\,318\,136\,364\,846^{3}+12\,293\,996\,879\,974\,082^{3}\\&=17\,873\,391\,364\,113\,012^{3}+11\,757\,988\,429\,199\,376^{3}\\&=18\,211\,330\,514\,175\,448^{3}+10\,901\,351\,979\,041\,108^{3}\\&=19\,262\,797\,062\,004\,847^{3}+5\,726\,433\,061\,530\,961^{3}\\&=19\,404\,743\,826\,965\,588^{3}+3\,058\,262\,831\,974\,168^{3}\\&=19\,422\,314\,536\,358\,643^{3}+2\,059\,655\,218\,961\,613^{3}\\&=19\,426\,825\,887\,781\,312^{3}+1\,536\,982\,932\,706\,676^{3}\\&=19\,429\,379\,778\,270\,560^{3}+904\,069\,333\,568\,884^{3}\\&=19\,429\,979\,328\,281\,886^{3}+391\,313\,741\,613\,522^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
11
)
≤
2
818
537
360
434
849
382
734
382
145
310
807
703
728
251
895
897
826
621
632
=
11
410
505
395
325
664
056
3
+
11
005
214
445
987
377
356
3
=
12
815
060
285
137
243
042
3
+
8
937
735
731
741
157
614
3
=
12
993
955
521
710
159
724
3
+
8
548
057
588
027
946
352
3
=
13
239
637
283
805
550
696
3
+
7
925
282
888
762
885
516
3
=
13
600
192
974
314
732
786
3
+
6
716
379
921
779
399
326
3
=
14
004
053
464
077
523
769
3
+
4
163
116
835
733
008
647
3
=
14
107
248
762
203
982
476
3
+
2
223
357
078
845
220
136
3
=
14
120
022
667
932
733
461
3
+
1
497
369
344
185
092
651
3
=
14
123
302
420
417
013
824
3
+
1
117
386
592
077
753
452
3
=
14
125
159
098
802
697
120
3
+
657
258
405
504
578
668
3
=
14
125
594
971
660
931
122
3
+
284
485
090
153
030
494
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 2\,818\,537\,360\,434\,849\,382\,734\,382\,145\,310\,807\,703\,728\,251\,895\,897\,826\,621\,632\\&=11\,410\,505\,395\,325\,664\,056^{3}+11\,005\,214\,445\,987\,377\,356^{3}\\&=12\,815\,060\,285\,137\,243\,042^{3}+8\,937\,735\,731\,741\,157\,614^{3}\\&=12\,993\,955\,521\,710\,159\,724^{3}+8\,548\,057\,588\,027\,946\,352^{3}\\&=13\,239\,637\,283\,805\,550\,696^{3}+7\,925\,282\,888\,762\,885\,516^{3}\\&=13\,600\,192\,974\,314\,732\,786^{3}+6\,716\,379\,921\,779\,399\,326^{3}\\&=14\,004\,053\,464\,077\,523\,769^{3}+4\,163\,116\,835\,733\,008\,647^{3}\\&=14\,107\,248\,762\,203\,982\,476^{3}+2\,223\,357\,078\,845\,220\,136^{3}\\&=14\,120\,022\,667\,932\,733\,461^{3}+1\,497\,369\,344\,185\,092\,651^{3}\\&=14\,123\,302\,420\,417\,013\,824^{3}+1\,117\,386\,592\,077\,753\,452^{3}\\&=14\,125\,159\,098\,802\,697\,120^{3}+657\,258\,405\,504\,578\,668^{3}\\&=14\,125\,594\,971\,660\,931\,122^{3}+284\,485\,090\,153\,030\,494^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
12
)
≤
73
914
858
746
493
893
996
583
617
733
225
161
086
864
012
865
017
882
136
931
801
625
152
=
33
900
611
529
512
547
910
376
3
+
32
696
492
119
028
498
124
676
3
=
38
073
544
107
142
749
077
782
3
+
26
554
012
859
002
979
271
194
3
=
38
605
041
855
000
884
540
004
3
+
25
396
279
094
031
028
611
792
3
=
39
334
962
370
186
291
117
816
3
+
23
546
015
462
514
532
868
036
3
=
40
406
173
326
689
071
107
206
3
+
19
954
364
747
606
595
397
546
3
=
41
606
042
841
774
323
117
699
3
+
12
368
620
118
962
768
690
237
3
=
41
912
636
072
508
031
936
196
3
+
6
605
593
881
249
149
024
056
3
=
41
950
587
346
428
151
112
631
3
+
4
448
684
321
573
910
266
121
3
=
41
960
331
491
058
948
071
104
3
+
3
319
755
565
063
005
505
892
3
=
41
965
847
682
542
813
143
520
3
+
1
952
714
722
754
103
222
628
3
=
41
965
889
731
136
229
476
526
3
+
1
933
097
542
618
122
241
026
3
=
41
967
142
660
804
626
363
462
3
+
845
205
202
844
653
597
674
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 73\,914\,858\,746\,493\,893\,996\,583\,617\,733\,225\,161\,086\,864\,012\,865\,017\,882\,136\,931\,801\,625\,152\\&=33\,900\,611\,529\,512\,547\,910\,376^{3}+32\,696\,492\,119\,028\,498\,124\,676^{3}\\&=38\,073\,544\,107\,142\,749\,077\,782^{3}+26\,554\,012\,859\,002\,979\,271\,194^{3}\\&=38\,605\,041\,855\,000\,884\,540\,004^{3}+25\,396\,279\,094\,031\,028\,611\,792^{3}\\&=39\,334\,962\,370\,186\,291\,117\,816^{3}+23\,546\,015\,462\,514\,532\,868\,036^{3}\\&=40\,406\,173\,326\,689\,071\,107\,206^{3}+19\,954\,364\,747\,606\,595\,397\,546^{3}\\&=41\,606\,042\,841\,774\,323\,117\,699^{3}+12\,368\,620\,118\,962\,768\,690\,237^{3}\\&=41\,912\,636\,072\,508\,031\,936\,196^{3}+6\,605\,593\,881\,249\,149\,024\,056^{3}\\&=41\,950\,587\,346\,428\,151\,112\,631^{3}+4\,448\,684\,321\,573\,910\,266\,121^{3}\\&=41\,960\,331\,491\,058\,948\,071\,104^{3}+3\,319\,755\,565\,063\,005\,505\,892^{3}\\&=41\,965\,847\,682\,542\,813\,143\,520^{3}+1\,952\,714\,722\,754\,103\,222\,628^{3}\\&=41\,965\,889\,731\,136\,229\,476\,526^{3}+1\,933\,097\,542\,618\,122\,241\,026^{3}\\&=41\,967\,142\,660\,804\,626\,363\,462^{3}+845\,205\,202\,844\,653\,597\,674^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
2
)
=
1
729
{\displaystyle \operatorname {Ta} (2)=1\,729}
ist vermöge obiger Anekdote auch als Hardy-Ramanujan-Zahl bekannt, sie wurde schon 1657 von Bernard Frénicle de Bessy publiziert.[ 4]
Ta
(
3
)
=
87
539
319
{\displaystyle \operatorname {Ta} (3)=87\,539\,319}
wurde 1957 von John Leech entdeckt.[ 5]
Ta
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (4)}
wurde 1991 von dem Amateur-Zahlentheoretiker E. Rosenstiel gefunden[ 6]
Ta
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (5)}
wird seit 1999 David W. Wilson verdankt.[ 7] Unabhängig davon fand wenige Monate später auch Daniel Bernstein diese Zahl.
Ta
(
6
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (6)}
wurde 2003 entdeckt.[ 8] Zuvor hatte 1998 Daniel Bernstein schon eine obere Schranke angegeben.
Als verallgemeinerte Taxicab-Zahlen bezeichnet man eine Abwandlung der gewöhnlichen Taxicab-Zahlen. Die Definition lautet:
Taxicab
(
k
,
j
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (k,j,n)}
ist die kleinste natürliche Zahl , die auf
n
{\displaystyle n}
verschiedene Arten als Summe von
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
-ten Potenzen ausgedrückt werden kann.
Für
k
=
3
{\displaystyle k=3}
und
j
=
2
{\displaystyle j=2}
handelt es sich um die „gewöhnlichen“ Taxicab-Zahlen.
Leonhard Euler zeigte, dass gilt:
Taxicab
(
4
,
2
,
2
)
=
635
318
657
=
59
4
+
158
4
=
133
4
+
134
4
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,2,2)=635\,318\,657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}
.
Stuart Gascoigne zeigte, dass
2
,
6
⋅
10
26
{\displaystyle 2{,}6\cdot 10^{26}}
eine untere Schranke für
Taxicab
(
4
,
2
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,2,3)}
ist, das Analogon zu Eulers obiger Lösung, diesmal aber für drei verschiedene Arten, eine positive Zahl als Summe zweier Biquadrate darzustellen (ein explizites Beispiel ist nicht bekannt).[ 9] Für
Taxicab
(
4
,
3
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,3,n)}
gibt es nach Hardy und Wright[ 10] Lösungen für beliebiges
n
{\displaystyle n}
und es sind Lösungen zum Beispiel bekannt für
n
=
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
10
,
12
,
16
,
18
,
19
,
24.
{\displaystyle n=3,4,5,6,7,8,10,12,16,18,19,24.}
[ 9] Schon bei der Summe von fünften Potenzen ist nicht bekannt, ob es Taxicab-Zahlen
Taxicab
(
5
,
2
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (5,2,n)}
für
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
gibt.[ 11]
Die Frage nach Taxicab-Zahlen ist ein Spezialfall der Frage nach Lösungen der Identitäten
∑
i
=
1
m
a
i
k
=
∑
j
=
1
n
b
j
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{k}}
.[ 12] [ 13] Ein anderer Spezialfall dieses Problemkreises ist die Eulersche Vermutung , eine Verallgemeinerung des Großen Fermatschen Satzes .
↑ Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford UP, 4. Auflage 1975, S. 333, Theorem 412, mit Anmerkungen S. 338 f. Die erste Auflage ist von 1938.
↑ Hardy: Ramanujan. London 1940. Wörtlich schrieb Hardy:
“I remember once going to see him when he was lying ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. ‘No’, he replied, ‘it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.’”
↑ Christian Boyer: New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers.
↑ Bruce Berndt , S. Bhargava: Ramanujan – For Lowbrows. In: American Mathematical Monthly. Band 100, 1993, S. 645–656.
↑ J. Leech: Some Solutions of Diophantine Equations. In: Proc. Cambridge Phil. Soc. 531957, S. 778–780.
↑ E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel: The Four Least Solutions in Distinct Positive Integers of the Diophantine Equation
s
=
x
3
+
y
3
=
z
3
+
w
3
=
u
3
+
v
3
=
m
3
+
n
3
.
{\displaystyle s=x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}=u^{3}+v^{3}=m^{3}+n^{3}.}
In: Bull. Inst. Math. Appl. 271991, S. 155–157.
↑ D. W. Wilson: The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496. In: J. Integer Sequences. 2, #99.1.9, 1999.
↑ C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen: What Is the Value of Taxicab(6)? (PDF; 120 kB). In: J. Uni. Comp. Sci. 9, 2003, S. 1196–1203.
↑ a b Taxicab numbers – 4th powers. In: Euler.free.fr.
↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 1979, S. 330.
↑ Walter Schneider: Taxicab numbers. (Memento vom 25. April 2005 im Internet Archive ). 2003, Mathews (the Archive of Recreational Mathematics).
↑ Lander, Parkin, Selfridge: A survey of equal sums of like powers. In: Mathematics of Computation. Band 21, 1967, S. 446–459.
↑ Randy Ekl: New results in equal sums of like powers. In: Mathematics of Computation. Band 67, 1998, S. 1209–1315, online.