In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.
Sei
G
{\displaystyle G}
eine kompakte , zusammenhängende Lie-Gruppe ,
T
⊂
G
{\displaystyle T\subset G}
ein maximaler Torus und
f
:
G
→
C
{\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }
eine stetige Funktion . Dann ist
∫
G
f
(
g
)
d
g
=
1
#
W
∫
T
det
(
Id
−
Ad
G
/
T
(
t
−
1
)
)
∫
G
/
T
f
(
g
t
g
−
1
)
d
g
d
t
{\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))\int _{G/T}f(gtg^{-1})\,dg\,dt}
,
wobei
W
{\displaystyle W}
die Weyl-Gruppe von
G
{\displaystyle G}
und
Ad
G
/
T
:
T
→
Aut
(
T
e
G
/
T
)
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{G/T}\colon T\to \operatorname {Aut} (T_{e}G/T)}
die Einschränkung der adjungierten Darstellung
Ad
∣
T
{\displaystyle \operatorname {Ad} \mid _{T}}
auf den ersten Summanden der
Ad
∣
T
{\displaystyle \operatorname {Ad} \mid _{T}}
-invarianten Zerlegung
g
=
T
e
(
G
/
T
)
⊕
t
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}(G/T)\oplus {\mathfrak {t}}}
bedeutet.
Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion
∫
G
f
(
g
)
d
g
=
1
#
W
∫
T
det
(
Id
−
Ad
G
/
T
(
t
−
1
)
)
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))f(t)\,dt}
,
man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.
Es gilt
det
(
Id
−
Ad
G
/
T
(
t
−
1
)
)
=
∏
α
>
0
(
e
α
(
t
)
/
2
−
e
−
α
(
t
)
/
2
)
{\displaystyle \det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right)}
,
wobei
α
(
t
)
{\displaystyle \alpha (t)}
vom Eigenwertproblem abhängt.
Für
G
=
U
(
n
)
{\displaystyle G=\mathbb {U} (n)}
ergibt sich
∫
G
f
(
g
)
d
g
=
1
n
!
∫
T
f
(
diag
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
|
Δ
|
2
∏
i
=
1
n
d
x
i
x
i
{\displaystyle \int _{G}f(g)\mathrm {d} g={\frac {1}{n!}}\int _{T}f(\operatorname {diag} (x_{1},\ldots ,x_{n}))|\Delta |^{2}\prod _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{x_{i}}}}
,
wobei
Δ
2
{\displaystyle \Delta ^{2}}
die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist
#
W
=
n
!
{\displaystyle \#W=n!}
.
Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch
q
(
g
,
t
)
=
g
t
g
−
1
{\displaystyle q(g,t)=gtg^{-1}}
definierten Abbildung
q
:
G
/
T
×
T
→
G
{\displaystyle q\colon G/T\times T\to G}
,
nämlich
deg
(
q
)
=
#
W
{\displaystyle \deg(q)=\#W}
für den Abbildungsgrad und
det
(
d
q
(
g
T
,
t
)
)
=
det
(
Ad
G
/
T
(
t
−
1
)
−
Id
)
{\displaystyle \det(\mathrm {d} q(gT,t))=\det(\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1})-\operatorname {Id} )}
für die Determinante des Differentials von
q
{\displaystyle q}
.
T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.
M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.