Zyklische Anordnung

Fünf zyklisch angeordnete Elemente.

Eine zyklische Anordnung ist eine Anordnung auf einem Kreis (bzw. Kreis (Graphentheorie)). Beispielsweise sind Uhrzeiten, Wochentage oder Monate zyklisch angeordnet.

Mathematische Definition

Eine zyklische Anordnung auf einer Menge $X$ ist eine Relation $R\subset X^{3}$ auf Tripeln von Elementen aus $X$ mit folgenden Eigenschaften:

• Wenn $\left[a,b,c\right]$ zyklisch angeordnet ist, dann auch $\left[b,c,a\right]$.
• Wenn $\left[a,b,c\right]$ zyklisch angeordnet ist, dann ist $\left[b,a,c\right]$ nicht zyklisch angeordnet.
• Wenn $\left[a,b,c\right]$ und $\left[a,c,d\right]$ zyklisch angeordnet sind, dann ist auch $\left[a,b,d\right]$ zyklisch angeordnet.
• Wenn $a,b,c$ unterschiedliche Elemente sind, dann ist entweder $\left[a,b,c\right]$ oder $\left[c,b,a\right]$ zyklisch angeordnet.

Zusammenhang mit linearen Ordnungen

Wenn $X$ linear angeordnet ist, dann hat man auch eine zyklische Anordnung durch

$\left[a,b,c\right]\Longleftrightarrow a<b<c{\mbox{ oder }}b<c<a{\mbox{ oder }}c<a<b$.

$X=\left\{x,y,z\right\}$: auf $X\setminus \left\{y\right\}$ hat man die lineare Ordnung $<_{1}$, auf $X\setminus \left\{z\right\}$ die lineare Ordnung $<_{2}$ auf $X\setminus \left\{x\right\}$ die lineare Ordnung $<_{3}$.

Für eine zyklische Anordnung kann man zu jedem $x\in X$ eine lineare Anordnung auf $X\setminus \left\{x\right\}$ definieren durch

$a<_{x}b\Longleftrightarrow \left[x,a,b\right]$.

Für zwei Elemente $x,y\in X$ stimmen die so definierten linearen Anordnungen auf $X\setminus \left\{x,y\right\}$ überein mit der Ausnahme von $a<_{x}y<_{x}b\Leftrightarrow b<_{y}x<_{y}a$.

Siehe auch

• Zyklisch angeordnete Gruppe

Literatur

• E. Huntington: A Set of Independent Postulates for Cyclic Order, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2 (11): 630–631, 1916.