Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

In der Mathematik ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung (auch homogene Differentialgleichung oder Euler-homogene Differentialgleichung) eine Differentialgleichung der Form

x^{\prime }=f\left({\frac {x}{t}}\right)

für eine stetige Funktion $f$ .

Ansatz

Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen $x^{\prime }=f\left({\frac {x}{t}}\right)$ werden mit der Transformation $u={\frac {x}{t}}$ in die Differentialgleichung

u^{\prime }={\frac {1}{t}}(f(u)-u)

überführt, die mit der Methode der Trennung der Variablen gelöst werden kann.

Beispiele

Die Differentialgleichung $x^{\prime }=1+{\frac {x}{t}}$ wird mit der Transformation $u={\frac {x}{t}}$ in die Differentialgleichung $u^{\prime }={\frac {1}{t}}$ mit den Lösungen $u(t)=\ln(t)+C$ überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form $x(t)=t\cdot \ln(t)+Ct$ mit einer Konstanten $C$ .
Die Differentialgleichung $x^{\prime }={\frac {x}{t}}-{\frac {x^{2}}{t^{2}}}$ wird mit der Transformation $u={\frac {x}{t}}$ in die Differentialgleichung $u^{\prime }=-{\frac {u^{2}}{t}}$ mit den Lösungen $u(t)={\frac {1}{\ln \vert t\vert +C}}$ überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form $x(t)={\frac {t}{\ln \vert t\vert +C}}$ mit einer Konstanten $C$ .
Die Differentialgleichung $x^{\prime }={\frac {x^{2}+t^{2}}{tx}}$ ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, weil sie in der Form $x^{\prime }={\frac {x}{t}}+\left({\frac {x}{t}}\right)^{-1}$ geschrieben werden kann. Mit $u={\frac {x}{t}}$ erhält man die Differentialgleichung $u^{\prime }={\frac {1}{ut}}$ mit den Lösungen $u(t)=\pm {\sqrt {2\ln \vert t\vert +C}}$ , also $x(t)=\pm t{\sqrt {2\ln \vert t\vert +C}}$ mit einer Konstanten $C$ .
Gesucht ist eine Kurve in der $x-y-$ Ebene, so dass für jeden Punkt auf der Kurve seine Entfernung vom Ursprung gleich der $y-$ Koordinate des Schnittpunkts seiner Tangente mit der $y-$ Achse ist. Dies führt auf die Differentialgleichung $y-x{\frac {dy}{dx}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , die zur Ähnlichkeitsdifferentialgleichung ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}-{\sqrt {1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}$ äquivalent ist. Mit $t=x,u={\frac {y}{x}}$ erhält man die Differentialgleichung $u^{\prime }=-{\frac {1+u^{2}}{t}}$ , deren Lösungen von der Form $u(t)=\sinh(-\ln \vert t\vert +C)$ sind. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind mit $D=e^{C}$ also von der Form $y(x)={\frac {1}{2D}}-{\frac {Dx^{2}}{2}}$ mit einer positiven Konstanten $D$ .