Äquianharmonisch

In der Mathematik, spezifisch in der Lehre der elliptischen Funktionen, ist der äquianharmonische Fall ein Spezialfall der Weierstraßschen ℘-Funktion, den man mit den Weierstrass-Invarianten $g_{2}=0$ und $g_{3}=1$ erhält.

Im äquianharmonischen Fall ist die kleinere halbe Periode $\omega _{2}$ reell und gleich

${\frac {\Gamma ^{3}(1/3)}{4\pi }}$,

wobei $\Gamma$ die Gammafunktion ist. Die größere halbe Periode ist

$\omega _{1}={\tfrac {1}{2}}(-1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} )\omega _{2}.$

Damit ist das Periodengitter ein reelles Vielfache des Gitters der Eisenstein-Zahlen.

Die Konstanten $e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)$ sind gegeben durch:

$e_{1}=4^{-1/3}e^{(2/3)\pi \mathrm {i} },\qquad e_{2}=4^{-1/3},\qquad e_{3}=4^{-1/3}e^{-(2/3)\pi \mathrm {i} }.$

Die Fälle $g_{2}=0,g_{3}=a$ können durch eine Skalierungs-Transformation bearbeitet werden.

Literatur

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Equianharmonic Case (g_2=0, g_3=1)." §18.13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 652-653, 1972.

Weblinks

• Wolfram MathWorld: Equianharmonic Case